Упр.28.115 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a+b+c=1$$, $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$$, то $$a^2+b^2+c^2=1$$.

Из второго равенства получаем:

$$\frac{ab+ac+bc}{abc}=0.$$

Так как дробь равна нулю, то числитель равен нулю:

$$ab+ac+bc=0,$$

причём $$abc\ne 0.$$

Теперь возведём в квадрат первое равенство:

$$\left(a+b+c\right)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1.$$

Подставим $$ab+ac+bc=0$$:

$$a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1,$$

$$a^2+b^2+c^2=1.$$

Ответ

$$a^2+b^2+c^2=1.$$