Упр.28.113 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение $$\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{4}{1+b^4}+\ldots+\frac{2^n}{1+b^{2^n}}$$.

Обозначим данное выражение через $$S$$:

$$S=\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{4}{1+b^4}+\cdots+\frac{2^n}{1+b^{2^n}}.$$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1+b} =\frac{(1+b)+(1-b)}{(1-b)(1+b)} =\frac{2}{1-b^2}.$$

Тогда

$$S=\frac{2}{1-b^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{4}{1+b^4}+\cdots+\frac{2^n}{1+b^{2^n}}.$$

Снова сгруппируем первые два слагаемых:

$$\frac{2}{1-b^2}+\frac{2}{1+b^2} =\frac{2(1+b^2)+2(1-b^2)}{(1-b^2)(1+b^2)} =\frac{4}{1-b^4}.$$

Получаем

$$S=\frac{4}{1-b^4}+\frac{4}{1+b^4}+\frac{8}{1+b^8}+\cdots+\frac{2^n}{1+b^{2^n}}.$$

Продолжая так далее, каждый раз объединяем два первых слагаемых и получаем:

$$S=\frac{2^n}{1-b^{2^n}}+\frac{2^n}{1+b^{2^n}}.$$

Теперь сложим эти дроби:

$$S=\frac{2^n(1+b^{2^n})+2^n(1-b^{2^n})}{(1-b^{2^n})(1+b^{2^n})} =\frac{2^{n+1}}{1-b^{2^{n+1}}}.$$

Ответ

$$\frac{2^{n+1}}{1-b^{2^{n+1}}}$$