Упр.28.112 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.112. Докажите тождество (b-c)/((a-b)(a-c))+(c-a)/((b-c)(b-a))+(a-b)/((c-a)(c-b))=2/(a-b)+2/(b-c)+2/(c-a).

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)} $$

Так как $$b-a=-(a-b),\ c-a=-(a-c),\ c-b=-(b-c),$$ то

$$ \frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{a-c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a-b}{(a-c)(b-c)} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(b-c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$

Раскроем квадраты:

$$ (b-c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2 $$
$$ =b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2+a^2-2ab+b^2 $$
$$ =2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) $$

Значит, левая часть равна

$$ \frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Теперь преобразуем правую часть:

$$ \frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a} = \frac{2(b-c)(c-a)+2(a-b)(c-a)+2(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ 2\bigl((b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)\bigr) $$
$$ =2\bigl(bc-ab-c^2+ac+ac-a^2-bc+ab+ab-bc-b^2+bc\bigr) $$
$$ =2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc). $$

Следовательно, правая часть также равна

$$ \frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Левая и правая части совпадают, значит тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано.