Упр.28.111 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{2bc}{(b+c)(c+a)(a+b)}$$.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{2bc}{(b+c)(c+a)(a+b)}$$
$$=\frac{bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc$$
$$=b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(b^2c+ab^2)+(bc^2+abc)+(a^2b+abc)+(a^2c+ac^2)$$
$$=b(bc+ab)+c(bc+ac)+a(ab+bc)+c(ac+bc).$$

Удобнее сразу вынести общий множитель:

$$b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc =(a+b)(a+c)(b+c).$$

Тогда исходное выражение равно

$$\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}=1.$$

Ответ

$$1$$