Упр.28.111 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.111. Упростите выражение bc/((a+b)(a+c))+ca/((b+c)(b+a))+ab/((c+a)(c+b))+2bc/((b+c)(c+a)(a+b)).

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{2bc}{(b+c)(c+a)(a+b)} $$
$$ =\frac{bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ bc(b+c)+ca(a+c)+ab(a+b)+2abc $$
$$ =b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (b^2c+ab^2)+(bc^2+abc)+(a^2b+abc)+(a^2c+ac^2) $$
$$ =b(bc+ab)+c(bc+ac)+a(ab+bc)+c(ac+bc). $$

Удобнее сразу вынести общий множитель:

$$ b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc =(a+b)(a+c)(b+c). $$

Тогда исходное выражение равно

$$ \frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}=1. $$

Ответ

$$1$$