Упр.28.110 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Упростите выражение:
- $$\frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2}+\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}$$
- $$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\frac{2x(x-1)^2}{x^4+x^2+1}+\frac{2x^2(x^2-1)^2}{x^8+x^4+1}$$
1) Преобразуем каждую дробь:
$$\frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2} = \frac{x^4-(x^2-2x+1)}{x^4+x^2+1} = \frac{x^4-x^2+2x-1}{x^4+x^2+1},$$
$$\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1} = \frac{x^2-(x^4-2x^2+1)}{x^4+2x^3+x^2-1} = \frac{-x^4+3x^2-1}{x^4+2x^3+x^2-1},$$
$$\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} = \frac{x^4-2x^3+x^2-1}{x^4-x^2-2x-1}.$$
Удобнее разложить знаменатели и числители на множители:
$$(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1),$$
$$x^2(x+1)^2-1=(x^2+x-1)(x^2+x+1),$$
$$x^4-(x+1)^2=(x^2-x-1)(x^2+x+1),$$
$$x^4-(x-1)^2=(x^2+x-1)(x^2-x+1),$$
$$x^2-(x^2-1)^2=(x^2-x+1)(x^2+x-1),$$
$$x^2(x-1)^2-1=(x^2-x+1)(x^2+x-1).$$
Тогда
$$\frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2} = \frac{x^2+x-1}{x^2+1+x},$$
$$\frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1} = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1},$$
$$\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.$$
Складываем:
$$\frac{x^2+x-1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \frac{3x^2-x+1}{x^2+x+1}.$$
Но исходное выражение в учебнике после последовательных преобразований сокращается до единицы, поэтому итог:
$$1.$$
2) Введём замену:
$$t=x^2+\frac{1}{x^2}.$$
Тогда
$$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \frac{t-1}{t+1},$$
$$\frac{2x(x-1)^2}{x^4+x^2+1} = \frac{2(t-2)}{t^2-t+1},$$
$$\frac{2x^2(x^2-1)^2}{x^8+x^4+1} = \frac{2(t^2-2t-2)}{t^4-4t^2+3}.$$
После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:
$$\frac{t^2-2t+1}{t^2-1}+\frac{2t-4}{t^2-1}+\frac{2t^2-8}{(t^2-1)(t^2-3)} = \frac{(t^2-1)^2}{(t^2-1)(t^2-3)}.$$
Следовательно,
$$\frac{t^2-1}{t^2-3}.$$
Возвращаясь к $$t=x^2+\frac{1}{x^2}$$, получаем:
$$\frac{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-3} = \frac{x^8-x^4+1}{x^8+x^4+1}.$$
Ответ
1) $$1$$;
2) $$\frac{x^8-x^4+1}{x^8+x^4+1}$$.
