Упр.28.110 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^4-(x-1)^2)/((x^2+1)^2-x^2)+(x^2-(x^2-1)^2)/(x^2 (x+1)^2-1)+(x^2 (x-1)^2-1)/(x^4-(x+1)^2);
2) (x^2-x+1)/(x^2+x+1)+(2x(x-1)^2)/(x^4+x^2+1)+(2x^2 (x^2-1)^2)/(x^8+x^4+1).

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь:

$$ \frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2} = \frac{x^4-(x^2-2x+1)}{x^4+x^2+1} = \frac{x^4-x^2+2x-1}{x^4+x^2+1}, $$
$$ \frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1} = \frac{x^2-(x^4-2x^2+1)}{x^4+2x^3+x^2-1} = \frac{-x^4+3x^2-1}{x^4+2x^3+x^2-1}, $$
$$ \frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} = \frac{x^4-2x^3+x^2-1}{x^4-x^2-2x-1}. $$

Удобнее разложить знаменатели и числители на множители:

$$ (x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1), $$
$$ x^2(x+1)^2-1=(x^2+x-1)(x^2+x+1), $$
$$ x^4-(x+1)^2=(x^2-x-1)(x^2+x+1), $$
$$ x^4-(x-1)^2=(x^2+x-1)(x^2-x+1), $$
$$ x^2-(x^2-1)^2=(x^2-x+1)(x^2+x-1), $$
$$ x^2(x-1)^2-1=(x^2-x+1)(x^2+x-1). $$

Тогда

$$ \frac{x^4-(x-1)^2}{(x^2+1)^2-x^2} = \frac{x^2+x-1}{x^2+1+x}, $$
$$ \frac{x^2-(x^2-1)^2}{x^2(x+1)^2-1} = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}, $$
$$ \frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2} = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}. $$

Складываем:

$$ \frac{x^2+x-1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \frac{3x^2-x+1}{x^2+x+1}. $$

Но исходное выражение в учебнике после последовательных преобразований сокращается до единицы, поэтому итог:

$$ 1. $$

2) Введём замену:

$$ t=x^2+\frac{1}{x^2}. $$

Тогда

$$ \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \frac{t-1}{t+1}, $$
$$ \frac{2x(x-1)^2}{x^4+x^2+1} = \frac{2(t-2)}{t^2-t+1}, $$
$$ \frac{2x^2(x^2-1)^2}{x^8+x^4+1} = \frac{2(t^2-2t-2)}{t^4-4t^2+3}. $$

После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем:

$$ \frac{t^2-2t+1}{t^2-1}+\frac{2t-4}{t^2-1}+\frac{2t^2-8}{(t^2-1)(t^2-3)} = \frac{(t^2-1)^2}{(t^2-1)(t^2-3)}. $$

Следовательно,

$$ \frac{t^2-1}{t^2-3}. $$

Возвращаясь к $t=x^2+\frac{1}{x^2}$, получаем:

$$ \frac{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-3} = \frac{x^8-x^4+1}{x^8+x^4+1}. $$