Упр.28.108 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^2 y^2 (1/(x+y)^2 (1/x^2+1/y^2)+2/(x+y)^3 (1/x+1/y));
2) (a^2-1)/(b^2+b) (1-1/(1-1/b))·(1+b-b^3-b^4)/(1-a^2).

1. $$x^2y^2\left(\frac{1}{(x+y)^2}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{2}{(x+y)^3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)$$

   Приведём выражение в скобках к общему виду:
   $$x^2y^2\left(\frac{1}{(x+y)^2}\cdot\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{2}{(x+y)^3}\cdot\frac{x+y}{xy}\right)$$

   Тогда
   $$\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2}+\frac{2xy(x+y)}{(x+y)^3}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(x+y)(x^2+y^2)+2xy(x+y)}{(x+y)^3} $$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$ \frac{x^3+xy^2+x^2y+y^3+2x^2y+2xy^2}{(x+y)^3} = \frac{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{(x+y)^3} $$

   $$ \frac{(x+y)^3}{(x+y)^3}=1 $$

2. $$ \frac{a^2-1}{b^2+b}\left(1-\frac{1}{1-\frac{1}{b}}\right)\cdot\frac{1+b-b^3-b^4}{1-a^2} $$

   Упростим каждую часть:
   $$ \frac{a^2-1}{1-a^2}=-1,\qquad b^2+b=b(b+1) $$

   Далее
   $$ 1-\frac{1}{1-\frac{1}{b}} = 1-\frac{1}{\frac{b-1}{b}} = 1-\frac{b}{b-1} = \frac{-1}{b-1} $$

   А также
   $$ 1+b-b^3-b^4=(1+b)(1-b^3) $$

   Тогда
   $$ \frac{a^2-1}{b^2+b}\left(1-\frac{1}{1-\frac{1}{b}}\right)\cdot\frac{1+b-b^3-b^4}{1-a^2} = -\frac{1}{b(b+1)}\cdot\left(-\frac{1}{b-1}\right)\cdot(1+b)(1-b^3) $$

   Сокращаем:
   $$ \frac{1-b^3}{b(b-1)} $$

   Так как
   $$ 1-b^3=(1-b)(1+b+b^2)=-(b-1)(b^2+b+1), $$
   получаем
   $$ -\frac{b^2+b+1}{b} $$

Ответ

1) $$1$$
2) $$-\frac{b^2+b+1}{b}$$