Упр.28.106 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{1}{x(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+8)}+\frac{1}{(x+8)(x+12)}+\frac{1}{(x+12)(x+16)}$$.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$\frac{1}{x(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+8)}+\frac{1}{(x+8)(x+12)}+\frac{1}{(x+12)(x+16)}$$
$$=\frac{x+8+x}{x(x+4)(x+8)}+\frac{x+16+x+8}{(x+8)(x+12)(x+16)}$$
$$=\frac{2(x+4)}{x(x+4)(x+8)}+\frac{2(x+12)}{(x+8)(x+12)(x+16)}$$
$$=\frac{2}{x(x+8)}+\frac{2}{(x+8)(x+16)}$$
$$=\frac{2(x+16)+2x}{x(x+8)(x+16)} =\frac{4(x+8)}{x(x+8)(x+16)} =\frac{4}{x(x+16)}.$$

При этом $$x\neq 0,-4,-8,-12,-16.$$

Ответ

$$\frac{4}{x(x+16)}$$