Упр.274 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) y=2-x^2; 3) y=8-2x-x^2; 5) y=4/x+1;
2) y=(x+4)^2; 4) y=x^2-2x+3; 6) y=4/(x-2);
7) y=(2x+14)/(x+3); 9) y=v(-x); 11) y=x^(1/3)-2;
8) y=-vx; 10) y=x^(-2)+2; 1) y=(x+1)^(1/4).
$$y=2-x^2$$
Это парабола, ветви направлены вниз, вершина $$\left(0;2\right)$$.
$$2-x^2>0 \iff x^2<2 \iff |x|<\sqrt2$$
$$2-x^2<0 \iff |x|>\sqrt2$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=(x+4)^2$$
Это парабола с вершиной $$\left(-4;0\right)$$, ветви направлены вверх.
$$y=0$$ при $$x=-4$$, а при остальных $$x$$ имеем $$y>0$$.
Функция убывает на $$(-\infty;-4]$$ и возрастает на $$[-4;+\infty)$$.
$$y=8-2x-x^2=-x^2-2x+8$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,\qquad y_0=8-2(-1)-(-1)^2=9$$
Вершина $$\left(-1;9\right)$$, ветви направлены вниз.
$$8-2x-x^2>0 \iff x^2+2x-8<0 \iff (x+4)(x-2)<0$$
Значит, $$y>0$$ при $$-4<x<2$$, а $$y<0$$ при $$x<-4$$ и $$x>2$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и убывает на $$[-1;+\infty)$$.
$$y=x^2-2x+3$$
Приведём к виду полного квадрата:
$$y=(x-1)^2+2$$
Вершина $$\left(1;2\right)$$, ветви направлены вверх.
Так как $$y=(x-1)^2+2>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$, то функция положительна на всей области определения.
Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.
$$y=\frac{4}{x}+1$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
$$\frac{4}{x}+1>0 \iff \frac{x+4}{x}>0$$
Отсюда $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$, а $$y<0$$ при $$-4<x<0$$.
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$.
$$y=\frac{4}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2$$.
$$\frac{4}{x-2}>0 \iff x>2,\qquad \frac{4}{x-2}<0 \iff x<2$$
Функция убывает на $$(-\infty;2)$$ и $$ (2;+\infty)$$.
$$y=\frac{2x+14}{x+3}=2+\frac{8}{x+3}$$
Область определения: $$x\ne -3$$.
$$\frac{2x+14}{x+3}>0 \iff \frac{x+7}{x+3}>0$$
Значит, $$y>0$$ при $$x<-7$$ и $$x>-3$$, а $$y<0$$ при $$-7<x<-3$$.
Функция убывает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty)$$.
$$y=-\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то $$-\sqrt{x}\le 0$$, причём $$y<0$$ при $$x>0$$.
Функция убывает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=\sqrt{-x}$$
Область определения: $$x\le 0$$.
Так как $$\sqrt{-x}\ge 0$$, то $$y>0$$ при $$x<0$$.
Функция убывает на $$(-\infty;0]$$.
$$y=x^{-2}+2=\frac{1}{x^2}+2$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Так как $$\frac{1}{x^2}>0$$ при $$x\ne 0$$, то $$y>2$$ на всей области определения.
Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$, при этом в точке $$x=0$$ она не определена.
$$y=\sqrt[3]{x}-2$$
Область определения: $$\mathbb R$$.
Функция $$\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей числовой прямой, значит и $$y=\sqrt[3]{x}-2$$ возрастает на $$\mathbb R$$.
$$y=\sqrt[4]{x+1}$$
Область определения: $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.
Так как корень четвёртой степени возрастает, то функция возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
При $$x>-1$$ имеем $$y>0$$.
Ответ
- $$y>0$$ при $$|x|<\sqrt2$$; $$y<0$$ при $$|x|>\sqrt2$$; возрастает на $$(-\infty;0]$$; убывает на $$[0;+\infty)$$.
- $$y=0$$ при $$x=-4$$; $$y>0$$ при $$x\ne -4$$; возрастает на $$[-4;+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;-4]$$.
- $$y>0$$ при $$-4<x<2$$; $$y<0$$ при $$x<-4$$, $$x>2$$; возрастает на $$(-\infty;-1]$$; убывает на $$[-1;+\infty)$$.
- $$y>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$; возрастает на $$[1;+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;1]$$.
- $$y>0$$ при $$x<-4$$ и $$x>0$$; $$y<0$$ при $$-4<x<0$$; убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$.
- $$y>0$$ при $$x>2$$; $$y<0$$ при $$x<2$$; убывает на $$(-\infty;2)$$ и $$ (2;+\infty)$$.
- $$y>0$$ при $$x<-7$$ и $$x>-3$$; $$y<0$$ при $$-7<x<-3$$; убывает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty)$$.
- $$y<0$$ при $$x>0$$; убывает на $$[0;+\infty)$$.
- $$y>0$$ при $$x<0$$; убывает на $$(-\infty;0]$$.
- $$y>2$$ при $$x\ne 0$$; возрастает на $$(-\infty;0]$$; убывает на $$[0;+\infty)$$.
- Возрастает на $$\mathbb R$$.
- $$y>0$$ при $$x>-1$$; возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
