Упр.272 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=v(x^2+16)-9; 4) y=-x^2+8x-16;
2) y=4+|x|; 5) y=-1/3 x^2+2x;
3) y=v(-x^2); 6) y=1/(1+x^2).

Подробный ответ

$$y=\sqrt{x^2+16}-9$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2+16\ge 16$$, значит
$$\sqrt{x^2+16}\ge 4.$$
Тогда
$$y\ge 4-9=-5.$$
Следовательно,
$$E(y)=[-5;+\infty).$$
$$y=4+|x|$$
Поскольку $$|x|\ge 0$$, получаем
$$y\ge 4.$$
Следовательно,
$$E(y)=[4;+\infty).$$
$$y=\sqrt{-x^2}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$-x^2\ge 0.$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то это возможно только при $$x=0$$. Тогда
$$y=\sqrt{0}=0.$$
Следовательно,
$$E(y)=\{0\}.$$
$$y=-x^2+8x-16$$
Приведём к квадрату двучлена:
$$y=-(x^2-8x+16)=-(x-4)^2.$$
Так как $$ (x-4)^2\ge 0 $$, то
$$y\le 0.$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;0].$$
$$y=-\frac13x^2+2x$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине.
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=3.$$
Найдём значение функции в вершине:
$$y_0=-\frac13\cdot 3^2+2\cdot 3=-3+6=3.$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;3].$$
$$y=\frac{1}{1+x^2}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то
$$1+x^2\ge 1.$$
Значит,
$$0<\frac{1}{1+x^2}\le 1.$$
Следовательно,
$$E(y)=(0;1].$$