Упр.270 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=1/(6-x)^(1/4); 7) f(x)=v(x-5)+v(5-x);
2) f(x)=1/(x^2-2); 8) f(x)=v(x-4)+6/v(2-x);
3) f(x)=(7x+14)/(x^2-7x); 9) f(x)=v(x^2+4x-21)-6/(x^2-49);
4) f(x)=x/(|x|-1); 10) f(x)=((x-3)/(x+4))^(1/7);
5) f(x)=(x+6)^(1/6)+(4-x)^(1/8); 11) f(x)=v((x+3)(x-2)/x);
6) f(x)=v(x-7)+(x+2)/(x-8); 12) f(x)=v((x^2-6x+9)/(x^2-5x+4)).

1. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

   $$6-x>0$$

   $$x<6$$

   Ответ: $$(-\infty;6)$$

2. $$f(x)=\frac{1}{x^2-2}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-2\ne 0$$

   $$x\ne \pm\sqrt2$$

   Ответ: $$(-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$

3. $$f(x)=\frac{7x+14}{x^2-7x}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$x^2-7x\ne 0$$

   $$x(x-7)\ne 0$$

   $$x\ne 0,\quad x\ne 7$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;7)\cup(7;+\infty)$$

4. $$f(x)=\frac{x}{|x|-1}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$|x|-1\ne 0$$

   $$|x|\ne 1$$

   $$x\ne -1,\quad x\ne 1$$

   Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$

5. $$f(x)=\sqrt[6]{x+6}+\sqrt[8]{4-x}$$

   Для существования корней нужно:

   $$x+6\ge 0,\quad 4-x\ge 0$$

   $$x\ge -6,\quad x\le 4$$

   Пересечение этих условий:

   Ответ: $$[-6;4]$$

6. $$f(x)=\sqrt{x-7}+\frac{x+2}{x-8}$$

   Нужно, чтобы:

   $$x-7\ge 0,\quad x-8\ne 0$$

   $$x\ge 7,\quad x\ne 8$$

   Ответ: $$[7;8)\cup(8;+\infty)$$

7. $$f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}$$

   Одновременно должны выполняться условия:

   $$x-5\ge 0,\quad 5-x\ge 0$$

   $$x\ge 5,\quad x\le 5$$

   Следовательно, $$x=5$$.

   Ответ: $$\{5\}$$

8. $$f(x)=\sqrt{x-4}+\frac{6}{\sqrt{2-x}}$$

   Для первого корня нужно:

   $$x-4\ge 0$$

   Для знаменателя нужно:

   $$2-x>0$$

   То есть одновременно:

   $$x\ge 4,\quad x<2$$

   Таких значений нет.

   Ответ: $$\varnothing$$

9. $$f(x)=\sqrt{x^2+4x-21}-\frac{6}{x^2-49}$$

   Нужно:

   $$x^2+4x-21\ge 0,\quad x^2-49\ne 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+4x-21=(x+7)(x-3)$$

   $$x^2-49=(x-7)(x+7)$$

   Тогда:

   $$ (x+7)(x-3)\ge 0 $$

   $$ x\le -7 \text{ или } x\ge 3 $$

   и дополнительно $$x\ne -7,\quad x\ne 7$$.

   Ответ: $$(-\infty;-7)\cup[3;7)\cup(7;+\infty)$$

10. $$f(x)=\sqrt[7]{\frac{x-3}{x+4}}$$

    Для корня нечётной степени ограничений на знак нет, но знаменатель не должен быть равен нулю:

    $$x+4\ne 0$$

    $$x\ne -4$$

    Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty)$$

11. $$f(x)=\sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$$

    Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель не равнялся нулю:

    $$\frac{(x+3)(x-2)}{x}\ge 0,\quad x\ne 0$$

    Решая неравенство методом интервалов, получаем:

    Ответ: $$[-3;0)\cup[2;+\infty)$$

12. $$f(x)=\sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$$

    Требуется:

    $$\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}\ge 0,\quad x^2-5x+4\ne 0$$

    Разложим на множители:

    $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

    $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$$

    Тогда:

    $$\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)}\ge 0,\quad x\ne 1,\quad x\ne 4$$

    Так как числитель неотрицателен, знак дроби определяется знаменателем. Получаем:

    Ответ: $$(-\infty;1)\cup\{3\}\cup(4;+\infty)$$