Упр.27.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x+4 > 2v(4-x^2); 3) v((x-3)(2-x)) < 3+2x. 2) v(x^2-3x-18) < 4-x;

Подробный ответ

$$x+4>2\sqrt{4-x^2}$$
Возведём обе части в квадрат. При этом учитываем, что правая часть неотрицательна, значит $$x+4>0$$:
$$ (x+4)^2>4(4-x^2) $$
$$ x^2+8x+16>16-4x^2 $$
$$ 5x^2+8x>0 $$
$$ x(5x+8)>0 $$
Отсюда:
$$ x<-\frac85 \quad \text{или} \quad x>0 $$
Теперь учтём область определения и условие $$x+4>0$$:
$$ 4-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -2\le x\le 2 $$
Пересекаем полученные промежутки:
$$ x\in\left[-2;-\frac85\right)\cup(0;2] $$
$$\sqrt{x^2-3x-18}\le 4-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо:
$$ 4-x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 4 $$
Возведём обе части в квадрат:
$$ x^2-3x-18\le (4-x)^2 $$
$$ x^2-3x-18\le x^2-8x+16 $$
$$ 5x\le 34 $$
$$ x\le \frac{34}{5} $$
Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$ x^2-3x-18\ge 0 $$
$$ (x+3)(x-6)\ge 0 $$
$$ x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 6 $$
С учётом $$x\le 4$$ остаётся:
$$ x\le -3 $$
$$\sqrt{(x-3)(2-x)}<3+2x$$
Чтобы неравенство имело смысл, нужно:
$$ 3+2x>0 \quad \Rightarrow \quad x>-\frac32 $$
Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$ (x-3)(2-x)\ge 0 $$
$$ (x-3)(x-2)\le 0 $$
$$ 2\le x\le 3 $$
На этом промежутке правая часть положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$$ (x-3)(2-x)<(3+2x)^2 $$
После преобразований получаем тождественно верное неравенство, значит решение определяется только областью допустимых значений:
$$ x\in[2;3] $$