Упр.27.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:

$$\sqrt{2x^2+5x-6}>\sqrt{-x-3}$$
$$\sqrt{2x^2+6x+3}>\sqrt{-x^2-4x}$$
$$\sqrt{x+2}>\sqrt{8-x^2}$$
$$\sqrt{\frac{8-x}{x-10}}<\sqrt{\frac{2}{2-x}}$$

Подробный ответ

$$\sqrt{2x^2+5x-6}>\sqrt{-x-3}$$
Для существования корней нужно:
$$2x^2+5x-6\ge 0,\qquad -x-3\ge 0.$$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} 2x^2+5x-6>-x-3,\\ -x-3\ge 0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$2x^2+6x-3>0.$$
Найдём корни уравнения $$2x^2+6x-3=0$$:
$$D=6^2-4\cdot 2\cdot(-3)=36+24=60,$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}.$$
Тогда
$$x<\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{-3+\sqrt{15}}{2}.$$
Из условия области определения имеем $$x\le -3$$. Пересечение даёт
$$x<\frac{-3-\sqrt{15}}{2}.$$
$$\sqrt{x+2}>\sqrt{8-x^2}$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\qquad 8-x^2\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем систему
$$\begin{cases} x+2>8-x^2,\\ 8-x^2\ge 0. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$x^2+x-6>0,$$
$$(x+3)(x-2)>0,$$
откуда $$x<-3$$ или $$x>2$$.
Второе неравенство:
$$x^2\le 8,\qquad -2\sqrt{2}\le x\le 2\sqrt{2}.$$
Пересечение решений:
$$x\in(2,2\sqrt{2}].$$
$$\sqrt{2x^2+6x+3}>\sqrt{-x^2-4x}$$
Область определения:
$$2x^2+6x+3\ge 0,\qquad -x^2-4x\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, то
$$\begin{cases} 2x^2+6x+3>-x^2-4x,\\ -x^2-4x\ge 0. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$3x^2+10x+3>0.$$
Найдём корни уравнения $$3x^2+10x+3=0$$:
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$x=\frac{-10\pm 8}{6}, \qquad x_1=-3,\quad x_2=-\frac13.$$
Тогда
$$x<-3\quad \text{или}\quad x>-\frac13.$$
Второе неравенство:
$$-x^2-4x\ge 0,$$
$$x^2+4x\le 0,$$
$$x(x+4)\le 0,$$
откуда $$-4\le x\le 0.$$
Пересечение решений:
$$x\in[-4,-3)\cup\left(-\frac13,0\right].$$
$$\sqrt{\frac{8-x}{x-10}}\le \sqrt{\frac{2}{2-x}}$$
Для существования корней нужно:
$$\frac{8-x}{x-10}\ge 0,\qquad \frac{2}{2-x}\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{t}$$ возрастает, то
$$\frac{8-x}{x-10}\le \frac{2}{2-x}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(8-x)(2-x)-2(x-10)}{(x-10)(2-x)}\le 0.$$
Числитель:
$$(8-x)(2-x)-2(x-10)=x^2-12x+36=(x-6)^2.$$
Получаем
$$\frac{(x-6)^2}{(x-10)(2-x)}\le 0.$$
Так как числитель неотрицателен, то неравенство возможно только при
$$(x-6)^2=0 \quad \text{или} \quad \frac{(x-6)^2}{(x-10)(2-x)}<0.$$
Но при $$x=6$$ подкоренные выражения не определены, а при $$x\ne 6$$ дробь не может быть отрицательной, если числитель положителен и знаменатель должен удовлетворять области определения. Проверка области определения даёт противоречие, поэтому решений нет.