Упр.27.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$|x^2+3x|
2. $$x^2-x-2<|5x-3|$$;
3. $$\left|\frac{x+1}{2x-1}\right|<1$$;
4. $$|x^2+3x|>2-x^2$$.

1. $$|x^2+3x|<x+4$$

   Рассмотрим два случая:

   1) $$x^2+3x<x+4$$

   $$x^2+2x-4<0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20$$

   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5$$

   Отсюда

   $$-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5$$

   2) $$x^2+3x>-(x+4)$$

   $$x^2+4x+4>0$$

   $$(x+2)^2>0$$

   Это верно при всех $$x$$, кроме $$x=-2$$.

   Пересекаем с первым условием:

   $$(-1-\sqrt5;\,-2)\cup(-2;\,-1+\sqrt5)$$

2. $$\left|\frac{x+1}{2x-1}\right|<1$$

   ОДЗ: $$2x-1\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac12$$.

   Неравенство равносильно системе:

   $$-1<\frac{x+1}{2x-1}<1$$

   1) $$\frac{x+1}{2x-1}<1$$

   $$\frac{x+1-(2x-1)}{2x-1}<0$$

   $$\frac{2-x}{2x-1}<0$$

   2) $$\frac{x+1}{2x-1}>-1$$

   $$\frac{x+1+(2x-1)}{2x-1}>0$$

   $$\frac{3x}{2x-1}>0$$

   Решая систему, получаем:

   $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$

3. $$x^2-x-2<|5x-3|$$

   1) $$x^2-x-2<5x-3$$

   $$x^2-6x+1<0$$

   $$D=36-4=32$$

   $$x=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt2$$

   Следовательно,

   $$3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2$$

   2) $$x^2-x-2<-(5x-3)$$

   $$x^2+4x-5<0$$

   $$(x+5)(x-1)<0$$

   Отсюда

   $$-5<x<1$$

   Пересечение двух промежутков:

   $$(-5;\,3+2\sqrt2)$$

4. $$|x^2+3x|>2-x^2$$

   1) $$x^2+3x>2-x^2$$

   $$2x^2+3x-2>0$$

   $$D=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=25$$

   $$x=\frac{-3\pm5}{4}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=\frac12$$

   Тогда

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$

   2) $$x^2+3x<-2+x^2$$

   $$3x<-2$$

   $$x<-\frac23$$

   Объединяя решения, получаем:

   $$(-\infty;\,-\tfrac23)\cup(\tfrac12;\,+\infty)$$

Ответ

1) $$(-1-\sqrt5;\,-2)\cup(-2;\,-1+\sqrt5)$$

2) $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$

3) $$(-5;\,3+2\sqrt2)$$

4) $$(-\infty;\,-\tfrac23)\cup(\tfrac12;\,+\infty)$$