Упр.27.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}>1$$;
2) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}<5$$.
1) $$\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}>1$$
Перенесём второй корень вправо:
$$\sqrt{1-3x}>1+\sqrt{5+x}$$
Возведём в квадрат:
$$1-3x>1+2\sqrt{5+x}+5+x$$
$$2\sqrt{5+x}<-4x-5$$
Так как левая часть неотрицательна, то необходимо:
$$-4x-5>0$$
$$x<-\frac54$$
Теперь возведём в квадрат:
$$4(5+x)<(4x+5)^2$$
$$20+4x<16x^2+40x+25$$
$$16x^2+36x+5>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=36^2-4\cdot16\cdot5=976=16\cdot61$$
$$x_{1,2}=\frac{-36\pm4\sqrt{61}}{32}=\frac{-9\pm\sqrt{61}}{8}$$
Тогда
$$16x^2+36x+5>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\ \text{или}\ x>\frac{-9+\sqrt{61}}{8}$$
С учётом области допустимых значений:
$$1-3x\ge 0,\quad 5+x\ge 0,\quad -4x-5>0$$
$$x\le \frac13,\quad x\ge -5,\quad x<-\frac54$$
Получаем пересечение:
$$x\in\left[-5;\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\right)$$
2) $$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}<5$$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{2x-1}<5-\sqrt{x+15}$$
$$2x-1<25-10\sqrt{x+15}+x+15$$
$$10\sqrt{x+15}<41-x$$
Возведём в квадрат:
$$100(x+15)<(41-x)^2$$
$$100x+1500<x^2-82x+1681$$
$$x^2-182x+181>0$$
$$D=182^2-4\cdot181=32400$$
$$x_{1,2}=\frac{182\pm180}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=181$$
Тогда
$$x<1 \;\;\text{или}\;\; x>181$$
Область допустимых значений:
$$2x-1\ge 0,\quad x+15\ge 0,\quad 5-\sqrt{x+15}\ge 0$$
$$x\ge \frac12,\quad x\ge -15,\quad x\le \frac{11}{3}$$
Следовательно,
$$x\in\left[\frac12;\frac{11}{3}\right]$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$x\in\left[\frac12;1\right]$$
Ответ
1) $$\left[-5;\frac{-9-\sqrt{61}}{8}\right)$$; 2) $$\left[\frac12;1\right]$$.
