Упр.27.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v(x^2-2x) > 4-x; 3) v((x^3+27)/x) > x-3.
2) v(-x^2-8x-12) > x+4;

Подробный ответ

$$\sqrt{x^2-2x}>4-x.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$4-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 4.$$
Тогда можно возвести обе части в квадрат:
$$ x^2-2x>(4-x)^2 $$
$$ x^2-2x>x^2-8x+16 $$
$$ 6x>16 $$
$$ x>\frac{8}{3}. $$
С учётом $$x\le 4$$ получаем $$\frac{8}{3}
2) $$4-x<0,$$ то есть $$x>4.$$
Так как $$\sqrt{x^2-2x}\ge 0,$$ а правая часть отрицательна, неравенство выполняется при всех таких $$x$$, если выражение под корнем определено:
$$ x^2-2x\ge 0 $$
$$ x(x-2)\ge 0 $$
$$ x\le 0 \text{ или } x\ge 2. $$
При $$x>4$$ это условие выполнено.
Итак, решение:
$$ \left(\frac{8}{3};+\infty\right). $$
$$\sqrt{-x^2-8x-12}\ge x+4.$$
Снова рассмотрим два случая.
1) $$x+4\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$
Тогда возводим в квадрат:
$$ -x^2-8x-12\ge (x+4)^2 $$
$$ -x^2-8x-12\ge x^2+8x+16 $$
$$ 2x^2+16x+28\le 0 $$
$$ x^2+8x+14\le 0. $$
Найдём корни:
$$ D=8^2-4\cdot 14=64-56=8, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{8}}{2}=-4\pm\sqrt2. $$
Тогда
$$ -4-\sqrt2\le x\le -4+\sqrt2. $$
С учётом $$x\ge -4$$ получаем
$$ -4\le x\le -4+\sqrt2. $$
2) $$x+4<0,$$ то есть $$x<-4.$$
Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при условии существования корня:
$$ -x^2-8x-12\ge 0 $$
$$ x^2+8x+12\le 0 $$
$$ (x+6)(x+2)\le 0 $$
$$ -6\le x\le -2. $$
С учётом $$x<-4$$ получаем
$$ -6\le x<-4. $$
Объединяя результаты, имеем:
$$ [-6;\,-4+\sqrt2]. $$
$$\sqrt{\frac{x^3+27}{x}}>x-3.$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$
Тогда возводим в квадрат:
$$ \frac{x^3+27}{x}>(x-3)^2 $$
$$ \frac{x^3+27}{x}>x^2-6x+9. $$
При $$x>0$$ умножаем на $$x$$:
$$ x^3+27>x^3-6x^2+9x $$
$$ 6x^2-9x+27>0 $$
$$ 2x^2-3x+9>0. $$
Дискриминант:
$$ D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 9=9-72=-63<0. $$
Так как старший коэффициент положителен, неравенство верно при всех $$x$$. Значит, при $$x\ge 3$$ оно выполняется.
2) $$x-3<0,$$ то есть $$x<3.$$
Тогда правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит достаточно, чтобы подкоренное выражение было определено:
$$ \frac{x^3+27}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0. $$
Разложим числитель:
$$ \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x}\ge 0. $$
Так как $$x^2-3x+9>0$$ при всех $$x$$, остаётся:
$$ \frac{x+3}{x}\ge 0. $$
Отсюда
$$ x\in(-\infty,-3]\cup(0,+\infty). $$
С учётом $$x<3$$ получаем
$$ x\in(-\infty,-3]\cup(0,3). $$
Итак, решение:
$$ (-\infty,-3]\cup(0,+\infty). $$