Упр.268 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) vx-3x^(1/4)+2=0; 4) x^2-16x-v(x^2-16x+8)=12;
2) 2x^(1/3)+5x^(1/6)-3=0; 5) v(3x/(x-1))-2v((x-1)/(3x))=1;
3) (4-4x+x^2)^(1/3)-(2-x)^(1/3)-2=0;
6) v(3x^2-6x+7)=7+2x-x^2.

Подробный ответ

$$\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2=0.$$
Пусть $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2=0$$
$$D=9-8=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm1}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Тогда
$$x_1=1^4=1,\quad x_2=2^4=16.$$
$$2\sqrt[3]{x}+5\sqrt[6]{x}-3=0.$$
Пусть $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
$$2t^2+5t-3=0$$
$$D=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm7}{4}.$$
$$t_1=-3,\quad t_2=\frac12.$$
Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ значение $$t_1=-3$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt[6]{x}=\frac12,\quad x=\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}.$$
$$\sqrt[3]{4-4x+x^2}-\sqrt[3]{2-x}-2=0.$$
Заметим, что $$4-4x+x^2=(2-x)^2.$$ Пусть $$y=\sqrt[3]{2-x}$$. Тогда
$$\sqrt[3]{(2-x)^2}=y^2,$$
и уравнение принимает вид:
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
1) $$\sqrt[3]{2-x}=-1 \Rightarrow 2-x=-1 \Rightarrow x=3.$$
2) $$\sqrt[3]{2-x}=2 \Rightarrow 2-x=8 \Rightarrow x=-6.$$
$$x^2-16x-\sqrt{x^2-16x+8}=12.$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2-16x+8}$$. Тогда
$$y^2=x^2-16x+8,$$
а значит
$$x^2-16x=y^2-8.$$
Подставим в уравнение:
$$y^2-8-y=12,$$
$$y^2-y-20=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm9}{2}.$$
$$y_1=-4,\quad y_2=5.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-16x+8}\ge 0,$$ значение $$y_1=-4$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x^2-16x+8}=5,$$
$$x^2-16x+8=25,$$
$$x^2-16x-17=0.$$
$$D=256+68=324,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm18}{2}.$$
$$x_1=-1,\quad x_2=17.$$
$$\sqrt{\frac{3x}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{3x}}=1.$$
Пусть $$y=\sqrt{\frac{3x}{x-1}}$$. Тогда
$$\sqrt{\frac{x-1}{3x}}=\frac1y,$$
и получаем:
$$y-\frac{2}{y}=1.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm3}{2}.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
Так как $$y=\sqrt{\frac{3x}{x-1}}\ge 0,$$ значение $$y_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{\frac{3x}{x-1}}=2,$$
$$\frac{3x}{x-1}=4,$$
$$3x=4x-4,$$
$$x=4.$$
$$\sqrt{3x^2-6x+7}=7+2x-x^2.$$
Пусть $$y=\sqrt{3x^2-6x+7}$$. Тогда
$$y^2=3x^2-6x+7,$$
а правая часть равна
$$7+2x-x^2=\frac{7-y^2}{3}.$$
Получаем:
$$y=\frac{7-y^2}{3},$$
$$y^2+3y-7=0.$$
$$D=9+28=37.$$
Здесь удобнее проверить найденные значения из исходного уравнения:
$$y=\sqrt{3x^2-6x+7}\ge 0,$$ значит подходит только неотрицательное значение. При $$y=4$$ имеем
$$3x^2-6x+7=16,$$
$$3x^2-6x-9=0,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2}.$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$