Упр.26.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$(x^2-2x+2)(x^2-2x-4)=-5$$; 2) $$\frac{x^2-3x}{2}-\frac{4}{x^2-3x}=1$$.

1) Пусть $$y=x^2-2x-4.$$ Тогда $$x^2-2x+2=y+6,$$ и уравнение принимает вид

$$(y+6)y=-5$$

$$y^2+6y+5=0$$

$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16$$

$$y_1=\frac{-6-4}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-6+4}{2}=-1$$

Если $$y=-5,$$ то

$$x^2-2x-4=-5$$

$$x^2-2x+1=0$$

$$(x-1)^2=0,\qquad x=1$$

Если $$y=-1,$$ то

$$x^2-2x-4=-1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{2+4}{2}=3$$

2) Пусть $$y=x^2-3x.$$ Тогда уравнение имеет вид

$$\frac{y}{2}-\frac{4}{y}=1,\qquad y\ne 0$$

$$y^2-8=2y$$

$$y^2-2y-8=0$$

$$D=2^2+4\cdot 8=36$$

$$y_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{2+6}{2}=4$$

Если $$y=-2,$$ то

$$x^2-3x=-2$$

$$x^2-3x+2=0$$

$$(x-1)(x-2)=0,\qquad x=1 \text{ или } x=2$$

Если $$y=4,$$ то

$$x^2-3x=4$$

$$x^2-3x-4=0$$

$$D=3^2+4\cdot 4=25$$

$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4$$

Ответ

1) $$-1,\ 1,\ 3$$; 2) $$-1,\ 1,\ 2,\ 4$$.