Упр.26.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos(x)-2x=1$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\cos x-2x-1.$$ Тогда уравнение $$\cos x-2x=1$$ равносильно уравнению $$f(x)=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sin x-2.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$-3\le -\sin x-2\le -1,$$

следовательно, $$f'(x)<0$$ при всех $$x.$$ Значит, функция $$f(x)$$ строго убывает на всей числовой прямой, поэтому уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение при $$x=0$$:

$$\cos 0-2\cdot 0=1.$$

Следовательно, $$x=0$$ — корень уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Ответ

$$0$$