Упр.26.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$x^4+2x^2(x-1)=24(x-1)^2$$.

Обозначим $$a=x^2$$, $$b=x-1$$. Тогда уравнение принимает вид

$$a^2+2ab=24b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+2ab-24b^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$a$$:

$$D=(2b)^2-4\cdot 1\cdot(-24b^2)=4b^2+96b^2=100b^2.$$

Тогда

$$a_{1,2}=\frac{-2b\pm 10b}{2},$$

откуда

$$a_1=-6b,\qquad a_2=4b.$$

Возвращаясь к переменным $$x$$, получаем два случая.

1) $$x^2=-6(x-1)$$

$$x^2+6x-6=0.$$

Тогда

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-6)=36+24=60,$$

$$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2}=-3\pm\sqrt{15}.$$

2) $$x^2=4(x-1)$$

$$x^2-4x+4=0,$$

$$\left(x-2\right)^2=0,$$

$$x=2.$$

Ответ

$$2;\ -3\pm\sqrt{15}.$$