Упр.26.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)-3x^2=0$$;
   2) $$(x^2+6x-40)(x+5)(x-2)=18x^2$$.

1. $$(2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)-3x^2=0$$

   Сгруппируем множители:
   $$(2x+10)(2x+20)(x+6)(x+12)-3x^2=0$$

   $$(2x+10)(2x+20)=4(x+5)(x+10), \quad (x+6)(x+12)=x^2+18x+72$$

   Удобнее преобразовать так:
   $$(2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)=(2x+10)(2x+20)(x+6)(x+12)$$
   $$=(4x^2+60x+200)(x^2+18x+72)$$

   После преобразований получаем уравнение, которое удобно свести к замене
   $$y=2x+\frac{120}{x}, \quad x\ne 0.$$

   Тогда:
   $$\left(2x+\frac{120}{x}+34\right)\left(2x+\frac{120}{x}+32\right)=3$$
   $$(y+34)(y+32)=3$$
   $$y^2+66y+1085=0$$

   $$D=66^2-4\cdot1085=16$$
   $$y_1=\frac{-66-4}{2}=-35,\quad y_2=\frac{-66+4}{2}=-31$$

   1) $$2x+\frac{120}{x}=-35$$
   $$2x^2+35x+120=0$$
   $$D=35^2-4\cdot2\cdot120=265$$
   $$x=\frac{-35\pm\sqrt{265}}{4}$$

   2) $$2x+\frac{120}{x}=-31$$
   $$2x^2+31x+120=0$$
   $$D=31^2-4\cdot2\cdot120=1$$
   $$x_1=\frac{-31-1}{4}=-8,\quad x_2=\frac{-31+1}{4}=-\frac{15}{2}$$

2. $$(x^2+6x-40)(x+5)(x-2)=18x^2$$

   Разложим на множители:
   $$x^2+6x-40=(x+10)(x-4)$$

   Тогда
   $$(x+10)(x-4)(x+5)(x-2)=18x^2$$
   $$(x^2+8x-20)(x^2+3x-10)=18x^2$$

   Удобно ввести замену:
   $$y=x-\frac{20}{x}, \quad x\ne 0$$

   Получаем:
   $$\left(y+8\right)\left(y+1\right)=18$$
   $$y^2+9y-10=0$$
   $$D=9^2+4\cdot10=121$$
   $$y_1=\frac{-9-11}{2}=-10,\quad y_2=\frac{-9+11}{2}=1$$

   1) $$x-\frac{20}{x}=-10$$
   $$x^2+10x-20=0$$
   $$D=10^2+4\cdot20=180$$
   $$x=\frac{-10\pm\sqrt{180}}{2}=-5\pm3\sqrt5$$

   2) $$x-\frac{20}{x}=1$$
   $$x^2-x-20=0$$
   $$D=1+80=81$$
   $$x_1=\frac{1-9}{2}=-4,\quad x_2=\frac{1+9}{2}=5$$

Ответ

1) $$x=-8,\; -\frac{15}{2},\; \frac{-35\pm\sqrt{265}}{4}$$
2) $$x=-4,\; 5,\; -5\pm3\sqrt5$$