Упр.254 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Сравните:

1. 1) $$\sqrt{39}$$ и $$2\sqrt{10}$$; 4) $$3\sqrt[3]{3}$$ и $$2\sqrt[3]{10}$$; 7) $$\sqrt[6]{7}$$ и $$\sqrt[4]{3}$$; 2) $$0{,}3\sqrt{3\frac{1}{3}}$$ и $$\sqrt{0{,}4}$$; 5) $$\sqrt[4]{6}$$ и $$\sqrt[8]{35}$$; 8) $$\left(\sqrt[4]{5}\right)^{\frac{1}{8}}$$ и $$\sqrt[4]{3}$$; 3) $$4$$ и $$\sqrt[3]{65}$$; 6) $$\sqrt{5}$$ и $$\sqrt[3]{12}$$; 9) $$\sqrt{2\sqrt[5]{3}}$$ и $$\left(6\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{5}}$$.

1. $$\sqrt{39}\ \text{и}\ 2\sqrt{10}$$

   Сравним квадраты:

   $$39<4\cdot 10=40$$

   Значит,

   $$\sqrt{39}<2\sqrt{10}$$

2. $$0{,}3\sqrt{3\frac13}\ \text{и}\ \sqrt{0{,}4}$$

   Преобразуем:

   $$0{,}3\sqrt{3\frac13}=0{,}3\sqrt{\frac{10}{3}} =\sqrt{0{,}09\cdot\frac{10}{3}} =\sqrt{0{,}3}$$

   Так как $$0{,}3<0{,}4,$$ то

   $$0{,}3\sqrt{3\frac13}<\sqrt{0{,}4}$$

3. $$4\ \text{и}\ \sqrt[3]{65}$$

   Сравним кубы:

   $$4^3=64<65$$

   Следовательно,

   $$4<\sqrt[3]{65}$$

4. $$3\sqrt[3]{3}\ \text{и}\ 2\sqrt[3]{10}$$

   Возведём в куб:

   $$\left(3\sqrt[3]{3}\right)^3=27\cdot 3=81,\qquad \left(2\sqrt[3]{10}\right)^3=8\cdot 10=80$$

   Так как $$81>80,$$ то

   $$3\sqrt[3]{3}>2\sqrt[3]{10}$$

5. $$\sqrt[4]{6}\ \text{и}\ \sqrt[8]{35}$$

   Приведём к одному показателю:

   $$\sqrt[4]{6}=\sqrt[8]{6^2}=\sqrt[8]{36}$$

   Так как $$36>35,$$ то

   $$\sqrt[4]{6}>\sqrt[8]{35}$$

6. $$\sqrt{5}\ \text{и}\ \sqrt[3]{12}$$

   Приведём к общему показателю $$6$$:

   $$\sqrt{5}=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125},\qquad \sqrt[3]{12}=\sqrt[6]{12^2}=\sqrt[6]{144}$$

   Так как $$125<144,$$ то

   $$\sqrt{5}<\sqrt[3]{12}$$

7. $$\sqrt[6]{7}\ \text{и}\ \sqrt[4]{3}$$

   Приведём к общему показателю $$12$$:

   $$\sqrt[6]{7}=\sqrt[12]{7^2}=\sqrt[12]{49},\qquad \sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}=\sqrt[12]{27}$$

   Так как $$49>27,$$ то

   $$\sqrt[6]{7}>\sqrt[4]{3}$$

8. $$\sqrt[8]{4\sqrt5}\ \text{и}\ \sqrt[4]{3}$$

   Приведём к общему показателю $$16$$:

   $$\sqrt[8]{4\sqrt5}=\sqrt[16]{(4\sqrt5)^2}=\sqrt[16]{16\cdot 5}=\sqrt[16]{80}$$
   $$\sqrt[4]{3}=\sqrt[16]{3^4}=\sqrt[16]{81}$$

   Так как $$80<81,$$ то

   $$\sqrt[8]{4\sqrt5}<\sqrt[4]{3}$$

9. $$\sqrt{2\sqrt[5]{3}}\ \text{и}\ \sqrt[5]{6\sqrt3}$$

   Приведём к общему показателю $$10$$:

   $$\sqrt{2\sqrt[5]{3}}=\sqrt[10]{(2\sqrt[5]{3})^5}=\sqrt[10]{32\cdot 3}=\sqrt[10]{96}$$
   $$\sqrt[5]{6\sqrt3}=\sqrt[10]{(6\sqrt3)^2}=\sqrt[10]{36\cdot 3}=\sqrt[10]{108}$$

   Так как $$96<108,$$ то

   $$\sqrt{2\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{6\sqrt3}$$

Ответ

1) $$\sqrt{39}<2\sqrt{10}$$;
2) $$0{,}3\sqrt{3\frac13}<\sqrt{0{,}4}$$;
3) $$4<\sqrt[3]{65}$$;
4) $$3\sqrt[3]{3}>2\sqrt[3]{10}$$;
5) $$\sqrt[4]{6}>\sqrt[8]{35}$$;
6) $$\sqrt{5}<\sqrt[3]{12}$$;
7) $$\sqrt[6]{7}>\sqrt[4]{3}$$;
8) $$\sqrt[8]{4\sqrt5}<\sqrt[4]{3}$$;
9) $$\sqrt{2\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{6\sqrt3}$$.