Упр.253 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
1) $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$;
2) $$\frac{12}{5-\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}-\frac{1}{\sqrt{17}-4}$$;
3) $$\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{13}+3}+\ldots+\frac{1}{5+\sqrt{21}}$$.
1) Преобразуем каждую дробь, рационализируя знаменатель:
$$\frac{1}{\sqrt2-1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{2+\sqrt3} = \frac{\sqrt2+1}{2-1}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\frac{2-\sqrt3}{4-3}$$
$$=\sqrt2+1+\sqrt3-\sqrt2+2-\sqrt3=3.$$
2) Аналогично:
$$\frac{12}{5-\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}-\frac{1}{\sqrt{17}-4} = \frac{12(5+\sqrt{13})}{25-13}+\frac{4(\sqrt{17}-\sqrt{13})}{17-13}-\frac{\sqrt{17}+4}{17-16}$$
$$=(5+\sqrt{13})+(\sqrt{17}-\sqrt{13})-(\sqrt{17}+4)=1.$$
3) В выражении получается телескопическая сумма:
$$\frac{1}{\sqrt5+1}+\frac{1}{3+\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt{13}+3}+\dots+\frac{1}{5+\sqrt{21}}$$
$$=\frac{\sqrt5-1}{5-1}+\frac{3-\sqrt5}{9-5}+\frac{\sqrt{13}-3}{13-9}+\dots+\frac{5-\sqrt{21}}{25-21}$$
$$=\frac{(\sqrt5-1)+(3-\sqrt5)+(\sqrt{13}-3)+\dots+(5-\sqrt{21})}{4} =\frac{5-1}{4}=1.$$
Ответ
1) $$3$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$.
