Упр.25.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Как может измениться — расшириться или сузиться — множество корней данного уравнения, если:
- уравнение $$(|x|+3)f(x)=2|x|+6$$ заменить на уравнение $$f(x)=2$$;
- уравнение $$(\operatorname{tg}^2(x)+1)f(x)=\operatorname{tg}^2(x)+1$$ заменить на уравнение $$f(x)=1$$;
- уравнение $$\frac{f(x)}{x^2+3}=0$$ заменить на уравнение $$f(x)=0$$;
- уравнение $$\frac{f(x)}{\lg^2 x}=0$$ заменить на уравнение $$f(x)=0$$;
- уравнение $$(x+1)f(x)=3(x+1)$$ заменить на уравнение $$f(x)=3$$;
- уравнение $$(vx-1)f(x)=vx-1$$ заменить на уравнение $$f(x)=1$$;
- уравнение $$\log_2 f(x)=0$$ заменить на уравнение $$f(x)=1$$;
- уравнение $$\log_x f(x)=0$$ заменить на уравнение $$f(x)=1$$.
$$(|x|+3)f(x)=2|x|+6=2(|x|+3).$$
Так как $$|x|+3>0$$ при любом $$x$$, то можно разделить обе части на $$|x|+3$$:
$$f(x)=2.$$
Множество корней не изменится.
$$(\tg^2 x+1)f(x)=\tg^2 x+1.$$
Поскольку $$\tg^2 x+1>0$$ при всех $$x$$, где определена функция $$\tg x$$, получаем:
$$f(x)=1.$$
Но уравнение $$\tg x$$ не определено при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
Значит, множество корней может расшириться на точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
$$\frac{f(x)}{x^2+3}=0.$$
Так как $$x^2+3>0$$ при любом $$x$$, то дробь равна нулю тогда и только тогда, когда
$$f(x)=0.$$
Множество корней не изменится.
$$\frac{f(x)}{\lg^2 x+1}=0.$$
Знаменатель всегда положителен при $$x>0$$:
$$\lg^2 x+1>0.$$
Поэтому уравнение равносильно
$$f(x)=0, \qquad x>0.$$
При замене на $$f(x)=0$$ множество корней может расшириться на все $$x\le 0$$, где исходное уравнение не определено.
$$(x+1)f(x)=3(x+1).$$
Если $$x\ne -1$$, то можно разделить на $$x+1$$ и получить
$$f(x)=3.$$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение обращается в тождество $$0=0$$, поэтому $$x=-1$$ тоже является корнем независимо от $$f(x)$$.
Значит, при замене на $$f(x)=3$$ множество корней может сузиться на $$x=-1$$.
$$(\sqrt{x}-1)f(x)=\sqrt{x}-1.$$
При $$x\ge 0$$ и $$\sqrt{x}\ne 1$$ можно разделить на $$\sqrt{x}-1$$ и получить
$$f(x)=1.$$
Но при $$x=1$$ исходное уравнение превращается в $$0=0$$, значит, $$x=1$$ — корень независимо от $$f(x)$$.
Кроме того, при замене на $$f(x)=1$$ область определения расширяется на $$x<0$$, где исходное уравнение не имеет смысла.
$$\log_2 f(x)=0.$$
Это равносильно
$$f(x)=1.$$
Условие $$f(x)>0$$ при $$f(x)=1$$ выполняется автоматически, поэтому множество корней не изменится.
$$\log_x f(x)=0.$$
Из равенства логарифма нулю получаем
$$f(x)=1,$$
но при этом должны выполняться условия существования логарифма:
$$x>0,\quad x\ne 1.$$
Следовательно, при замене на $$f(x)=1$$ множество корней может расшириться на $$x\le 0$$ и на $$x=1$$.
Ответ
1) никак; 2) может расшириться на $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) никак; 4) может расшириться на $$x\le 0$$; 5) может сузиться на $$x=-1$$; 6) может сузиться на $$x=1$$ и расшириться на $$x<0$$; 7) никак; 8) может расшириться на $$x\le 0$$ и $$x=1$$.
