Упр.25.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Какое из двух уравнений является следствием другого:

$$|x|=2$$ и $$x^3=8$$;
$$\frac{x^2}{x-9}=\frac{81}{x-9}$$ и $$x^2=64$$;
$$x^2=25$$ и $$x^2-\frac{1}{x+5}=25-\frac{1}{x+5}$$;
$$\frac{x^2-49}{x+7}=0$$ и $$x^2-49=0$$;
$$\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x}$$ и $$x^2-2=3x$$;
$$\sqrt{x^2(x-1)}=x$$ и $$|x|\sqrt{x-1}=x$$;
$$\sqrt{x+3}=x$$ и $$x+3=x^2$$;
$$\sin(x)=3$$ и $$\log_2 x=1$$;
$$\lg(x^2-1)=\lg (x-1)^2$$ и $$x^2-1=(x-1)^2$$;
$$\frac{2\operatorname{tg}(x)}{1-\operatorname{tg}^2(x)}=0$$ и $$\operatorname{tg}(2x)=0$$;
$$\frac{1}{\log_x 2}=0$$ и $$\log_2 x=0$$.

Подробный ответ

$$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2,$$
$$x^3=8 \Rightarrow x=2.$$
Второе уравнение является следствием первого.
$$\frac{x^2}{x-9}=\frac{81}{x-9}, \quad x\ne 9 \Rightarrow x^2=81 \Rightarrow x=\pm 9,$$
но $$x=9$$ не подходит, значит $$x=-9.$$
$$x^2=64 \Rightarrow x=\pm 8.$$
Ни одно уравнение не является следствием другого.
$$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5,$$
$$x^2-\frac{1}{x+5}=25-\frac{1}{x+5}, \quad x\ne -5 \Rightarrow x^2=25,$$
при этом $$x=-5$$ не входит в ОДЗ, значит $$x=5.$$
Второе уравнение является следствием первого.
$$\frac{x^2-49}{x+7}=0, \quad x\ne -7 \Rightarrow x^2-49=0 \Rightarrow x=\pm 7,$$
но $$x=-7$$ не подходит, значит $$x=7.$$
$$x^2-49=0 \Rightarrow x=\pm 7.$$
Первое уравнение является следствием второго.
$$\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x} \Rightarrow x^2-2=3x,$$
при этом $$x^2-2\ge 0,\; 3x\ge 0.$$
Из уравнения $$x^2-3x-2=0$$ получаем $$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$
Уравнение $$x^2-2=3x$$ имеет те же корни, но без учёта условий подкоренных выражений.
Второе уравнение является следствием первого.
$$\sqrt{x^2(x-1)}=x \Rightarrow x^2(x-1)=x^2,$$
откуда $$x^2(x-2)=0.$$
С учётом ОДЗ получаем $$x=2.$$
$$|x|\sqrt{x-1}=x \Rightarrow x^2(x-1)=x^2,$$
и снова $$x=2.$$
Оба уравнения равносильны.
$$\sqrt{x+3}=x \Rightarrow x+3=x^2,\quad x\ge 0,$$
откуда $$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.$$
$$x+3=x^2 \Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Первое уравнение является следствием второго.
$$\sin x=3$$ решений не имеет, так как $$|\sin x|\le 1.$$
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$
Первое уравнение не является следствием второго и наоборот.
$$\lg(x^2-1)=\lg(x-1)^2 \Rightarrow x^2-1=(x-1)^2,$$
при этом $$x^2-1>0,\; (x-1)^2>0.$$
Из равенства получаем $$2x=2,$$ значит $$x=1,$$ но это не удовлетворяет ОДЗ.
$$x^2-1=(x-1)^2 \Rightarrow x=1.$$
Второе уравнение является следствием первого.
$$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=0 \Rightarrow \tg x=0,$$
при этом $$1-\tg^2 x\ne 0.$$
Тогда $$x=\pi n.$$
$$\tg 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
Второе уравнение является следствием первого.
$$\frac{1}{\log_x 2}=0$$ решений не имеет, так как дробь равна нулю только при бесконечном знаменателе, а это невозможно.
$$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$
Первое уравнение не является следствием второго и наоборот.