Упр.25.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\arccos(x\sqrt{3})=\arcsin(3x-2)$$.

Пусть

$$\arccos(x\sqrt{3})=\arcsin(3x-2).$$

Тогда можно приравнять синусы левой и правой частей:

$$\sin(\arccos(x\sqrt{3}))=\sin(\arcsin(3x-2)).$$

Так как $$\sin(\arccos t)=\sqrt{1-t^2},$$ получаем

$$\sqrt{1-3x^2}=3x-2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1-3x^2=(3x-2)^2,$$

$$1-3x^2=9x^2-12x+4,$$

$$12x^2-12x+3=0,$$

$$4x^2-4x+1=0,$$

$$\left(2x-1\right)^2=0,$$

$$x=\frac12.$$

Проверим область допустимых значений:

$$-1\le x\sqrt{3}\le 1,\qquad -1\le 3x-2\le 1.$$

Из второго неравенства:

$$\frac13\le x\le 1.$$

Значение $$x=\frac12$$ этому условию удовлетворяет. Подставим:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6},$$

то есть равенство не выполняется. Следовательно, найденный корень посторонний.

Ответ

Корней нет.