Упр.25.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{1+\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)}=0$$;
2. $$\frac{\cos(x)+\cos\left(\frac{3x}{2}\right)-2}{\sin\left(\frac{x}{8}\right)}=0$$.

1. $$\frac{1+\cos x+\sin x}{\cos x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$1+\cos x+\sin x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Преобразуем:

   $$1+2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

   $$1+2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)=0$$

   Удобнее использовать тождество
   $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},\qquad \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$
   Тогда

   $$2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0.$$

   Если $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ то $$x=\pi+2\pi n,$$ но тогда $$\cos x=-1\ne 0,$$ и это подходит.

   Если $$\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0,$$ то
   $$\tg\frac{x}{2}=-1,$$
   откуда
   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
   Но при этих значениях $$\cos x=0,$$ поэтому они не входят в область определения.

   Значит, остаются только решения
   $$x=\pi+2\pi n.$$

2. $$\frac{\cos x+\cos\frac{3x}{2}-2}{\sin\frac{x}{8}}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\cos x+\cos\frac{3x}{2}-2=0,\qquad \sin\frac{x}{8}\ne 0.$$

   Так как $$\cos x\le 1$$ и $$\cos\frac{3x}{2}\le 1,$$ то сумма
   $$\cos x+\cos\frac{3x}{2}\le 2.$$
   Равенство $$2$$ достигается только при
   $$\cos x=1,\qquad \cos\frac{3x}{2}=1.$$

   Тогда
   $$x=2\pi n,$$
   $$\frac{3x}{2}=2\pi m.$$
   Подставляя $$x=2\pi n,$$ получаем
   $$3\pi n=2\pi m,$$
   откуда подходит, например, $$x=4\pi n.$$

   Проверим область определения:
   $$\sin\frac{x}{8}\ne 0 \;\Rightarrow\; \frac{x}{8}\ne \pi k \;\Rightarrow\; x\ne 8\pi k.$$
   Значения $$x=4\pi n$$ не нарушают это условие при нечётных $$n$$, но для дроби нужно именно равенство числителя нулю. При $$x=4\pi n$$ действительно
   $$\cos x=1,\qquad \cos\frac{3x}{2}=1,$$
   значит числитель равен нулю.

   Следовательно, решения:
   $$x=4\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi n$$; 2) $$x=4\pi n,$$ $$n\in\mathbb{Z}.$$