Упр.25.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\left(\sqrt{9+x}+3\right)\left(\sqrt{10+x}+8\right)=-3x$$.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{9+x}+3,$$

$$g(x)=\sqrt{10+x}+8.$$

Обе функции возрастают на своей области определения, значит и их произведение

$$h(x)=f(x)\cdot g(x)$$

тоже возрастает.

Правая часть уравнения

$$p(x)=-3x$$

убывает.

Следовательно, уравнение

$$\left(\sqrt{9+x}+3\right)\left(\sqrt{10+x}+8\right)=-3x$$

может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=-9$$:

$$\left(\sqrt{9-9}+3\right)\left(\sqrt{10-9}+8\right)=\left(0+3\right)\left(1+8\right)=3\cdot 9=27,$$

$$-3\cdot(-9)=27.$$

Равенство выполняется, значит $$x=-9$$ — решение уравнения.

Ответ

$$-9$$