Упр.25.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Равносильны ли уравнения:
а) $$x-5=0$$ и $$x(x-5)=0$$;
б) $$x+2=2+x$$ и $$\frac{x^2+2}{x^2+2}=1$$;
в) $$\frac{x-3}{x-3}=1$$ и $$x=x$$;
г) $$\frac{x^2-4}{x+2}=0$$ и $$x-2=0$$;
д) $$\frac{x^2-25}{x+2}=0$$ и $$x^2-25=0$$;
е) $$\left(\sqrt{x+2}\right)^2=2x+5$$ и $$x+2=2x+5$$;
ж) $$\sqrt{(x-1)(x-3)}=0$$ и $$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-3}=0$$;
з) $$\sin x=2$$ и $$2^x=-1$$;
и) $$\sin x=0$$ и $$\cos x=1$$;
к) $$\cos x=0$$ и $$\sin^2 x=1$$;
л) $$\frac{1-\operatorname{tg}^2 x}{1+\operatorname{tg}^2 x}=-1$$ и $$\cos 2x=-1$$;
м) $$\log_3 x^2=2$$ и $$\log_3 x=1$$;
н) $$\log_5(x^2-1)=\log_5(x-1)$$ и $$\log_5(x+1)=0$$;
о) $$\frac{\log_x(x+1)}{\log_x 2}=1$$ и $$\log_2(x+1)=1$$.
$$x-5=0 \quad \text{и} \quad x(x-5)=0$$
Первое уравнение: $$x=5$$.
Второе уравнение: $$x=0$$ или $$x=5$$.
Множества решений различны, значит, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
$$x+2=2+x \quad \text{и} \quad \frac{x^2+2}{x^2+2}=1$$
Первое уравнение верно при любом $$x \in \mathbb{R}$$.
Во втором уравнении $$x^2+2>0$$ при любом $$x \in \mathbb{R}$$, значит, дробь определена и равна 1 при всех $$x \in \mathbb{R}$$.
Множества решений совпадают.
Ответ: да.
$$\frac{x-3}{x-3}=1 \quad \text{и} \quad x=x$$
Первое уравнение имеет ОДЗ: $$x \ne 3$$, поэтому его решения — все $$x \in \mathbb{R}$$, кроме $$x=3$$.
Второе уравнение верно при любом $$x \in \mathbb{R}$$.
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\frac{x^2-4}{x+2}=0 \quad \text{и} \quad x-2=0$$
Первое уравнение:
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=0,\quad x \ne -2$$
Отсюда $$x-2=0$$, то есть $$x=2$$.
Второе уравнение: $$x=2$$.
Множества решений совпадают.
Ответ: да.
$$\frac{x^2-25}{x+2}=0 \quad \text{и} \quad x^2-25=0$$
Первое уравнение:
$$\frac{(x-5)(x+5)}{x+2}=0,\quad x \ne -2$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=-5$$.
Второе уравнение:
$$x^2-25=0 \Rightarrow x=5 \text{ или } x=-5$$
Множества решений совпадают.
Ответ: да.
$$\left(\sqrt{x+2}\right)^2=2x+5 \quad \text{и} \quad x+2=2x+5$$
Первое уравнение требует $$x+2 \ge 0$$, то есть $$x \ge -2$$. Тогда
$$x+2=2x+5 \Rightarrow x=-3$$, но $$x=-3$$ не удовлетворяет ОДЗ.
Первое уравнение не имеет решений.
Второе уравнение даёт $$x=-3$$.
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\sqrt{(x-1)(x-3)}=0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-3}=0$$
Первое уравнение:
$$(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3$$
Второе уравнение определено при $$x \ge 3$$, и тогда
$$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x=3$$
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\sin x=2 \quad \text{и} \quad 2^x=-1$$
Уравнение $$\sin x=2$$ не имеет решений, так как $$-1 \le \sin x \le 1$$.
Уравнение $$2^x=-1$$ также не имеет решений, так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$.
Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.
Ответ: да.
$$\sin x=0 \quad \text{и} \quad \cos x=1$$
Первое уравнение: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.
Второе уравнение: $$x=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\cos x=0 \quad \text{и} \quad \sin^2 x=1$$
Первое уравнение: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.
Второе уравнение: $$\sin x=\pm 1$$, значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.
Множества решений совпадают.
Ответ: да.
$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=-1 \quad \text{и} \quad \cos 2x=-1$$
Левая часть определена при $$\cos x \ne 0$$. Тогда
$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\cos 2x$$
Следовательно, первое уравнение равносильно $$\cos 2x=-1$$ при $$\cos x \ne 0$$.
Но уравнение $$\cos 2x=-1$$ имеет и такие решения, при которых $$\cos x=0$$, например $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\log_3 x^2=2 \quad \text{и} \quad \log_3 x=1$$
Первое уравнение:
$$\log_3 x^2=2 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
Второе уравнение:
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\log_5(x^2-1)=\log_5(x-1) \quad \text{и} \quad \log_5(x+1)=0$$
Первое уравнение требует:
$$x^2-1>0,\quad x-1>0$$
То есть $$x>1$$. Тогда
$$x^2-1=x-1 \Rightarrow (x-1)(x+1)=x-1 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0,$$
но это не удовлетворяет ОДЗ. Значит, решений нет.
Второе уравнение:
$$\log_5(x+1)=0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$$
Множества решений различны.
Ответ: нет.
$$\frac{\log_x(x+1)}{\log_x 2}=1 \quad \text{и} \quad \log_2(x+1)=1$$
Первое уравнение определено при $$x>0,\; x\ne 1,\; x+1>0$$. Тогда
$$\frac{\log_x(x+1)}{\log_x 2}=\log_2(x+1)$$
Следовательно, первое уравнение равносильно
$$\log_2(x+1)=1$$
при тех же ограничениях. Но из $$\log_2(x+1)=1$$ получаем $$x=1$$, а это не входит в ОДЗ первого уравнения.
Первое уравнение не имеет решений, второе даёт $$x=1$$.
Ответ: нет.
