Упр.24.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$M((x+M(x))^2)=M(x^2)+3(M(x))^2$$.

Раскроем квадрат суммы:

$$M\bigl((x+M(x))^2\bigr)=M\bigl(x^2+2xM(x)+(M(x))^2\bigr).$$

Используем линейность оператора $$M$$:

$$M\bigl((x+M(x))^2\bigr)=M(x^2)+M\bigl(2xM(x)\bigr)+M\bigl((M(x))^2\bigr).$$

Так как $$M(x)$$ — число, то его можно вынести из-под знака $$M$$:

$$M\bigl(2xM(x)\bigr)=2M(x)\cdot M(x)=2(M(x))^2,$$

а также

$$M\bigl((M(x))^2\bigr)=(M(x))^2.$$

Тогда

$$M\bigl((x+M(x))^2\bigr)=M(x^2)+2(M(x))^2+(M(x))^2=M(x^2)+3(M(x))^2.$$

Ответ

$$M\bigl((x+M(x))^2\bigr)=M(x^2)+3(M(x))^2.$$