Упр.235 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (a^(-2)-5)/(a^-(-4)+6a^(-2)+9):(a^(-4)-25)/(4a^(-2)+12)+2/(a^(-2)+5);
2) (b^(-1)-(8b^(-1)-36)/(b^(-1)-4))·(2b^(-1)-4b^(-1)/(b^(-1)-4))^(-1).

Подробный ответ

$$\frac{a^{-2}-5}{a^{-4}+6a^{-2}+9}:\frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}+12}+\frac{2}{a^{-2}+5}$$
Представим знаменатели в виде квадратов и разности квадратов:
$$a^{-4}+6a^{-2}+9=(a^{-2}+3)^2,$$
$$a^{-4}-25=(a^{-2}-5)(a^{-2}+5),$$
$$4a^{-2}+12=4(a^{-2}+3).$$
Тогда
$$\frac{a^{-2}-5}{(a^{-2}+3)^2}:\frac{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}{4(a^{-2}+3)}+\frac{2}{a^{-2}+5}$$
$$=\frac{a^{-2}-5}{(a^{-2}+3)^2}\cdot\frac{4(a^{-2}+3)}{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}+\frac{2}{a^{-2}+5}$$
$$=\frac{4}{(a^{-2}+3)(a^{-2}+5)}+\frac{2}{a^{-2}+5}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4+2(a^{-2}+3)}{(a^{-2}+3)(a^{-2}+5)}=\frac{2a^{-2}+10}{(a^{-2}+3)(a^{-2}+5)}$$
$$=\frac{2(a^{-2}+5)}{(a^{-2}+3)(a^{-2}+5)}=\frac{2}{a^{-2}+3}=\frac{2a^2}{1+3a^2}.$$
$$\left(b^{-1}-\frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4}\right)\cdot\left(2b^{-1}-\frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4}\right)^{-1}$$
Упростим первую скобку:
$$b^{-1}-\frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4} =\frac{b^{-2}-4b^{-1}-8b^{-1}+36}{b^{-1}-4} =\frac{b^{-2}-12b^{-1}+36}{b^{-1}-4} =\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-4}.$$
Упростим выражение во второй скобке:
$$2b^{-1}-\frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4} =\frac{2b^{-2}-8b^{-1}-4b^{-1}}{b^{-1}-4} =\frac{2b^{-2}-12b^{-1}}{b^{-1}-4} =\frac{2b^{-1}(b^{-1}-6)}{b^{-1}-4}.$$
Тогда
$$\left(\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-4}\right)\cdot \left(\frac{2b^{-1}(b^{-1}-6)}{b^{-1}-4}\right)^{-1} =\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-4}\cdot\frac{b^{-1}-4}{2b^{-1}(b^{-1}-6)}$$
$$=\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}=\frac{1-6b}{2}.$$