Упр.230 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1/(x+3) < 2/(x-4); 3) 1/(x-2)+1/(x+2)?3/x; 2) (x+1)/x-(x-1)/(x+1) < 2; 4) 7/(x^2-9)-12/(x^2-4)?0.

1. $$\frac{1}{x+3}<\frac{2}{x-4}$$

   Перенесём всё в одну дробь:
   $$\frac{2(x+3)-(x-4)}{(x+3)(x-4)}>0$$
   $$\frac{2x+6-x+4}{(x+3)(x-4)}>0$$
   $$\frac{x+10}{(x+3)(x-4)}>0$$

   Критические точки: $$x=-10,\,-3,\,4$$. Тогда
   $$-10<x<-3,\quad x>4.$$

2. $$\frac{x+1}{x}-\frac{x-1}{x+1}<2$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(x+1)^2-x(x-1)-2x(x+1)}{x(x+1)}<0$$
   $$\frac{x^2+2x+1-x^2+x-2x^2-2x}{x(x+1)}<0$$
   $$\frac{-2x^2+x+1}{x(x+1)}<0$$
   $$\frac{(2x+1)(x-1)}{x(x+1)}>0$$

   Критические точки: $$x=-1,\,-\frac12,\,0,\,1$$. По знакам получаем:
   $$(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(1;+\infty).$$

3. $$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}>\frac{3}{x}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{3(x-2)(x+2)-x(x+2)-x(x-2)}{x(x+2)(x-2)}>0$$
   $$\frac{3x^2-12-x^2-2x-x^2+2x}{x(x+2)(x-2)}>0$$
   $$\frac{x^2-12}{x(x+2)(x-2)}>0$$
   $$\frac{(x-2\sqrt3)(x+2\sqrt3)}{x(x+2)(x-2)}>0$$

   Отсюда
   $$(-\infty;-2\sqrt3)\cup(-2;0)\cup(2;2\sqrt3).$$

4. $$\frac{7}{x^2-9}-\frac{12}{x^2-4}\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{7(x^2-4)-12(x^2-9)}{(x^2-9)(x^2-4)}\ge 0$$
   $$\frac{7x^2-28-12x^2+108}{(x^2-9)(x^2-4)}\ge 0$$
   $$\frac{80-5x^2}{(x^2-9)(x^2-4)}\ge 0$$
   $$\frac{5(16-x^2)}{(x^2-9)(x^2-4)}\ge 0$$
   $$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}\ge 0$$

   По знакам получаем:
   $$[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4].$$

Ответ

1) $$(-10;-3)\cup(4;+\infty)$$
2) $$(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;0\right)\cup(1;+\infty)$$
3) $$(-\infty;-2\sqrt3)\cup(-2;0)\cup(2;2\sqrt3)$$
4) $$[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$