Упр.23.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Случайная величина у равна количеству школьников на очередном занятии математического кружка. Известно, что множество значений случайной величины у равно $$\{5, 6, 7\}$$ и $$P(u=k)=ak$$ для всех $$k=5, 6, 7$$. Найдите математическое ожидание и среднее абсолютное отклонение количества школьников на занятии математического кружка.

Подробный ответ

Обозначим случайную величину через $$Y$$. Тогда

$$P(Y=5)=5a,\quad P(Y=6)=6a,\quad P(Y=7)=7a.$$

Так как сумма всех вероятностей равна 1, получаем:

$$5a+6a+7a=1,$$

$$18a=1,\quad a=\frac{1}{18}.$$

Найдём математическое ожидание:

$$M(Y)=5\cdot 5a+6\cdot 6a+7\cdot 7a=25a+36a+49a=110a,$$

$$M(Y)=110\cdot \frac{1}{18}=\frac{55}{9}.$$

Теперь найдём среднее абсолютное отклонение:

$$\begin{aligned} \Delta Y&=E\left|Y-M(Y)\right| \\ &=\frac{1}{18}\left(5\left|5-\frac{55}{9}\right|+6\left|6-\frac{55}{9}\right|+7\left|7-\frac{55}{9}\right|\right). \end{aligned}$$

Вычислим модули:

$$\left|5-\frac{55}{9}\right|=\frac{10}{9},\quad \left|6-\frac{55}{9}\right|=\frac{1}{9},\quad \left|7-\frac{55}{9}\right|=\frac{8}{9}.$$

Тогда

$$\Delta Y=\frac{1}{18}\left(5\cdot \frac{10}{9}+6\cdot \frac{1}{9}+7\cdot \frac{8}{9}\right) =\frac{1}{18}\cdot \frac{50+6+56}{9} =\frac{112}{162} =\frac{56}{81}.$$