Упр.23.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 23.17. Случайная величина x равна количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку. Известно, что множество значений случайной величины х равно {0, 1, …, 6} и Р(х=k)=а(6k-k^2) для всех k=0, 1, …, 6. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

Найдём коэффициент $$a$$ из условия нормировки вероятностей:

$$ \sum_{k=0}^{6} P(x=k)=1. $$

Так как

$$ P(x=k)=a(6k-k^2), $$

то

$$ P(0)=0,\quad P(1)=5a,\quad P(2)=8a,\quad P(3)=9a,\quad P(4)=8a,\quad P(5)=5a,\quad P(6)=0. $$

Составим уравнение:

$$ 5a+8a+9a+8a+5a=1, $$

$$ 35a=1,\quad a=\frac{1}{35}. $$

Теперь найдём математическое ожидание:

$$ M(x)=\sum_{k=0}^{6} kP(x=k) $$

$$ M(x)=1\cdot 5a+2\cdot 8a+3\cdot 9a+4\cdot 8a+5\cdot 5a. $$

$$ M(x)=5a+16a+27a+32a+25a=105a=105\cdot \frac{1}{35}=3. $$

Найдём дисперсию:

$$ D(x)=\sum_{k=0}^{6} (k-M(x))^2P(x=k). $$

Так как $$M(x)=3$$, получаем:

$$ D(x)=9\cdot 0+4\cdot \frac{5}{35}+1\cdot \frac{8}{35}+0\cdot \frac{9}{35}+1\cdot \frac{8}{35}+4\cdot \frac{5}{35}+9\cdot 0. $$

$$ D(x)=\frac{20+8+8+20}{35}=\frac{56}{35}=\frac{8}{5}. $$

Тогда стандартное отклонение:

$$ \sigma(x)=\sqrt{D(x)}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}. $$

Ответ

$$ M(x)=3,\quad \sigma(x)=\frac{2\sqrt{10}}{5}. $$