Упр.23.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Пусть $$a$$ — некоторое число. Известно, что каждое значение случайной величины не меньше $$a$$. Может ли её математическое ожидание оказаться меньшим $$a$$?

Пусть случайная величина $$x$$ принимает значения $$x_1, x_2, \dots, x_n$$ с вероятностями $$p_1, p_2, \dots, p_n$$, причём для каждого $$i$$ выполнено $$x_i \ge a$$.

Тогда математическое ожидание равно

$$M(x)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n.$$

Так как каждое $$x_i \ge a$$, то

$$M(x)\ge ap_1+ap_2+\dots+ap_n=a(p_1+p_2+\dots+p_n).$$

Сумма вероятностей равна 1, значит

$$M(x)\ge a\cdot 1=a.$$

Следовательно, математическое ожидание не может быть меньше $$a$$.

Ответ

Нет.