Упр.23.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. О случайной величине $$x$$ известно, что $$M(x)=5$$, $$D(x)=3$$. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины $$y$$, равной: 1) $$x-3$$; 2) $$2x$$; 3) $$-x+1$$; 4) $$\frac{x+4}{3}$$.

Используем свойства математического ожидания и дисперсии:

$$M(ax+b)=aM(x)+b,$$

$$D(ax+b)=a^2D(x), \qquad \sigma(x)=\sqrt{D(x)}.$$

1. $$y=x-3.$$

   $$M(y)=M(x)-3=5-3=2,$$

   $$D(y)=D(x)=3,$$

   $$\sigma(y)=\sqrt{3}.$$

2. $$y=2x.$$

   $$M(y)=2M(x)=2\cdot 5=10,$$

   $$D(y)=2^2D(x)=4\cdot 3=12,$$

   $$\sigma(y)=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

3. $$y=-x+1.$$

   $$M(y)=-M(x)+1=-5+1=-4,$$

   $$D(y)=(-1)^2D(x)=3,$$

   $$\sigma(y)=\sqrt{3}.$$

4. $$y=\frac{x+4}{3}=\frac13x+\frac43.$$

   $$M(y)=\frac13M(x)+\frac43=\frac13\cdot 5+\frac43=3,$$

   $$D(y)=\left(\frac13\right)^2D(x)=\frac19\cdot 3=\frac13,$$

   $$\sigma(y)=\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ

1) $$M(y)=2,\ \sigma(y)=\sqrt3$$; 2) $$M(y)=10,\ \sigma(y)=2\sqrt3$$; 3) $$M(y)=-4,\ \sigma(y)=\sqrt3$$; 4) $$M(y)=3,\ \sigma(y)=\frac{\sqrt3}{3}$$.