Упр.229 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x-4)^2 (x^2-8x+12) < 0; 2) (x-1)^2 (x^2-x-6)?0; 3) (x+2)^2 (x^2+x-20)?0; 4) (x+5)^2 (x^2+2x-3) > 0;
5) (x-5)^2 (x^2-x-6)?0;
6) (x-6)^2 (x^2-2x-15)?0;
7) (x-2)^2 (x-3)^4 (x-3)^3?0;
8) (x-2)^2 (x-3)^3 (x-4)^4 (x-5)^5?0;
9) (x^2-x-12)/(x^2+4x+4) < 0; 10) (x^2-6x+9)/(x^2-3x-10)?0.

1. $$ (x-4)^2(x^2-8x+12)<0 $$ $$ x^2-8x+12=(x-2)(x-6) $$ Тогда $$ (x-4)^2(x-2)(x-6)<0. $$ Так как $$ (x-4)^2\ge 0 $$ и обращается в ноль при $$ x=4 $$, то неравенство выполняется, когда $$ (x-2)(x-6)<0, \quad x\ne 4. $$ Отсюда $$ 2

   Ответ: $$ (2;4)\cup(4;6). $$

2. $$ (x-1)^2(x^2-x-6)\le 0 $$
   $$ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $$
   Тогда
   $$ (x-1)^2(x+2)(x-3)\le 0. $$
   Поскольку $$ (x-1)^2\ge 0 $$, получаем
   $$ (x+2)(x-3)\le 0 $$
   или $$ x=1 $$.
   Значит,
   $$ -2\le x\le 3. $$
   Точка $$ x=1 $$ уже входит в этот промежуток.

   Ответ: $$ [-2;3]. $$

3. $$ (x+2)^2(x^2+x-20)\ge 0 $$
   $$ x^2+x-20=(x+5)(x-4) $$
   Тогда
   $$ (x+2)^2(x+5)(x-4)\ge 0. $$
   Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то нужно
   $$ (x+5)(x-4)\ge 0 $$
   или $$ x=-2 $$.
   Отсюда
   $$ x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4, $$
   а также $$ x=-2 $$.

   Ответ: $$ (-\infty;-5]\cup\{-2\}\cup[4;+\infty). $$

4. $$ (x+5)^2(x^2+2x-3)>0 $$
   $$ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) $$
   Тогда
   $$ (x+5)^2(x+3)(x-1)>0. $$
   Поскольку $$ (x+5)^2>0 $$ при $$ x\ne -5 $$, получаем
   $$ (x+3)(x-1)>0,\quad x\ne -5. $$
   Значит,
   $$ x<-3 \quad \text{или} \quad x>1, \quad x\ne -5. $$

   Ответ: $$ (-\infty;-5)\cup(-5;-3)\cup(1;+\infty). $$

5. $$ (x-5)^2(x^2-x-6)\ge 0 $$
   $$ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $$
   Тогда
   $$ (x-5)^2(x+2)(x-3)\ge 0. $$
   Так как $$ (x-5)^2\ge 0 $$, то
   $$ (x+2)(x-3)\ge 0 $$
   или $$ x=5 $$.
   Отсюда
   $$ x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 3. $$
   Точка $$ x=5 $$ уже входит в этот промежуток.

   Ответ: $$ (-\infty;-2]\cup[3;+\infty). $$

6. $$ (x-6)^2(x^2-2x-15)\le 0 $$
   $$ x^2-2x-15=(x+3)(x-5) $$
   Тогда
   $$ (x-6)^2(x+3)(x-5)\le 0. $$
   Поскольку $$ (x-6)^2\ge 0 $$, получаем
   $$ (x+3)(x-5)\le 0 $$
   или $$ x=6 $$.
   Значит,
   $$ -3\le x\le 5, \quad x=6. $$

   Ответ: $$ [-3;5]\cup\{6\}. $$

7. $$ (x-2)^2(x-3)^4(x-3)^3\ge 0 $$
   Объединим степени:
   $$ (x-2)^2(x-3)^7\ge 0. $$
   Так как $$ (x-2)^2\ge 0 $$, знак выражения определяется множителем $$ (x-3)^7 $$, то есть
   $$ x\ge 3, $$
   а также выражение равно нулю при $$ x=2 $$.

   Ответ: $$ \{2\}\cup[3;+\infty). $$

8. $$ (x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-5)^5\le 0 $$
   Так как степени $$ 2 $$ и $$ 4 $$ чётные, а степени $$ 3 $$ и $$ 5 $$ нечётные, знак произведения определяется выражением
   $$ (x-3)(x-5)\le 0, $$
   а также нули при $$ x=2 $$ и $$ x=4 $$.
   Поэтому
   $$ 3\le x\le 5, \quad x=2, \quad x=4. $$

   Ответ: $$ \{2\}\cup[3;5]. $$

9. $$ \frac{x^2-x-12}{x^2+4x+4}<0 $$ $$ x^2-x-12=(x-4)(x+3), \qquad x^2+4x+4=(x+2)^2 $$ Тогда $$ \frac{(x-4)(x+3)}{(x+2)^2}<0, \qquad x\ne -2. $$ Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$ x\ne -2 $$, нужно
   $$ (x-4)(x+3)<0. $$ Отсюда $$ -3

   Ответ: $$ (-3;-2)\cup(-2;4). $$

10. $$ \frac{x^2-6x+9}{x^2-3x-10}\ge 0 $$
    $$ x^2-6x+9=(x-3)^2, \qquad x^2-3x-10=(x-5)(x+2) $$
    Тогда
    $$ \frac{(x-3)^2}{(x-5)(x+2)}\ge 0, \qquad x\ne -2,\; x\ne 5. $$
    Числитель неотрицателен, поэтому дробь неотрицательна, когда
    $$ (x-5)(x+2)>0 $$
    или числитель равен нулю:
    $$ x=3. $$
    Отсюда
    $$ x<-2 \quad \text{или} \quad x>5, \quad \text{а также } x=3. $$

    Ответ: $$ (-\infty;-2)\cup\{3\}\cup(5;+\infty). $$