Упр.225 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   1. $$\left\{\begin{aligned}6x^2-13x+5?0,\\8-2x>0;\end{aligned}\right.$$
   2. $$\left\{\begin{aligned}x^2-6x-27<0,\\2x-x^2?0.\end{aligned}\right.$$

1. $$6x^2-13x+5\ge 0,$$
   $$8-2x>0.$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=13^2-4\cdot 6\cdot 5=169-120=49,$$
   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 7}{12}.$$
   Тогда
   $$x_1=\frac{6}{12}=\frac12,\qquad x_2=\frac{20}{12}=\frac53.$$
   Следовательно,
   $$6x^2-13x+5\ge 0 \iff x\le \frac12 \text{ или } x\ge \frac53.$$
   Второе неравенство:
   $$8-2x>0 \iff x<4.$$
   Пересечение решений:
   $$(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac53;4).$$
2. $$x^2-6x-27<0,$$
   $$2x-x^2\le 0.$$
   Решим первое неравенство:
   $$D=6^2+4\cdot 27=36+108=144,$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-3,\qquad x_2=9,$$
   и
   $$x^2-6x-27<0 \iff -3<x<9.$$
   Решим второе неравенство:
   $$2x-x^2\le 0,$$
   $$x(2-x)\le 0,$$
   $$x(x-2)\ge 0,$$
   откуда
   $$x\le 0 \text{ или } x\ge 2.$$
   Пересечение решений:
   $$(-3;0]\cup[2;9).$$

Ответ

1) $$(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac53;4)$$

2) $$(-3;0]\cup[2;9)$$