Упр.22.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Случайная величина $$z$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=50$$ и $$p=0{,}15$$. Найдите, при каком значении $$k$$ вероятность события $$P(z=k)$$ будет наименьшей.

Для биномиального распределения

$$P(z=k)=C_{50}^k\cdot 0{,}15^k\cdot 0{,}85^{50-k}.$$

Чтобы вероятность была наименьшей, сравним соседние значения:

$$P(z=k)>P(z=k+1).$$

Тогда

$$C_{50}^k\cdot 0{,}15^k\cdot 0{,}85^{50-k} > C_{50}^{k+1}\cdot 0{,}15^{k+1}\cdot 0{,}85^{49-k}.$$

Сократим общие множители:

$$\frac{0{,}85}{50-k} > \frac{0{,}15}{k+1}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$0{,}85(k+1) > 0{,}15(50-k),$$

$$0{,}85k+0{,}85 > 7{,}5-0{,}15k,$$

$$k>6{,}65.$$

Значит, начиная с $$k=7$$ вероятность $$P(z=k)$$ убывает, а наименьшее значение среди целых $$k$$ от $$0$$ до $$50$$ достигается при максимальном $$k$$.

Следовательно, наименьшая вероятность будет при $$k=50.$$

Ответ

$$50$$