Упр.22.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Случайная величина $$z$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=100$$ и $$p=0{,}64$$. Найдите, при каком значении $$k$$ вероятность события $$P(z=k)$$ будет наибольшей.

Для биномиального распределения $$z \sim B(100; 0{,}64)$$ вероятность $$P(z=k)$$ наибольшая при таком $$k$$, для которого

$$P(z=k) \le P(z=k+1).$$

Запишем отношение соседних вероятностей:

$$\frac{P(z=k+1)}{P(z=k)} = \frac{C_{100}^{k+1} \cdot 0{,}64^{k+1}\cdot 0{,}36^{99-k}} {C_{100}^{k}\cdot 0{,}64^{k}\cdot 0{,}36^{100-k}} = \frac{100-k}{k+1}\cdot \frac{0{,}64}{0{,}36}.$$

Требуем, чтобы это отношение было не меньше 1:

$$\frac{100-k}{k+1}\cdot \frac{0{,}64}{0{,}36} \ge 1.$$

Решим неравенство:

$$0{,}64(100-k) \ge 0{,}36(k+1)$$
$$64-0{,}64k \ge 0{,}36k+0{,}36$$
$$63{,}64 \ge k.$$

Значит, наибольшая вероятность достигается при наибольшем целом $$k$$, не превосходящем $$63{,}64$$, то есть при $$k=64$$.

Ответ

$$64$$