Упр.22.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Есть $$r$$ ящиков, в каждом из которых лежат $$n$$ чёрных и $$m$$ белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно $$k$$ чёрных?

Вероятность вынуть из одного ящика чёрный шар равна

$$p=\frac{n}{n+m},$$

а белый —

$$q=\frac{m}{n+m}.$$

Из каждого из $$r$$ ящиков берут по одному шару. Чтобы среди взятых шаров оказалось ровно $$k$$ чёрных, нужно выбрать $$k$$ ящиков, из которых вынут чёрный шар, и $$r-k$$ ящиков, из которых вынут белый шар.

Число таких способов равно $$C_r^k.$$

По формуле умножения вероятностей получаем:

$$P=C_r^k p^k q^{r-k}.$$

Подставим значения $$p$$ и $$q$$:

$$P=C_r^k\left(\frac{n}{n+m}\right)^k\left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}.$$

Ответ

$$P=C_r^k\left(\frac{n}{n+m}\right)^k\left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}.$$