Упр.219 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) x^2-6x-7 < 0; 7) 4x^2-16x?0; 2) x^2+2x-48?0; 8) 4x^2-49 > 0;
3) -x^2+6x-5 > 0; 9) 2x^2-x+1 > 0;
4) -x^2-4x-3 < 0; 10) 3x^2-4x+2?0; 5) 3x^2-7x+4?0; 11) (2x+1)^2-(x+1)(x-7)?5; 6) 2x^2-3x+1 > 0; 12) (x-1)/2-2x+3 < (x^2+3x)/4.

1. $$x^2-6x-7<0$$
   $$D=36+28=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=7$$
   $$ (x+1)(x-7)<0 $$
   $$-1<x<7$$
2. $$x^2+2x-48\ge 0$$
   $$D=4+192=196$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 14}{2}$$
   $$x_1=-8,\quad x_2=6$$
   $$ (x+8)(x-6)\ge 0 $$
   $$x\le -8 \text{ или } x\ge 6$$
3. $$-x^2+6x-5>0$$
   $$x^2-6x+5<0$$
   $$D=36-20=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=5$$
   $$ (x-1)(x-5)<0 $$
   $$1<x<5$$
4. $$-x^2-4x-3<0$$
   $$x^2+4x+3>0$$
   $$D=16-12=4$$
   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2}{2}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=-1$$
   $$ (x+3)(x+1)>0 $$
   $$x<-3 \text{ или } x>-1$$
5. $$3x^2-7x+4\le 0$$
   $$D=49-48=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=\frac{4}{3}$$
   $$ (x-1)\left(x-\frac{4}{3}\right)\le 0 $$
   $$1\le x\le \frac{4}{3}$$
6. $$2x^2-3x+1>0$$
   $$D=9-8=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$
   $$x_1=\frac12,\quad x_2=1$$
   $$ \left(x-\frac12\right)(x-1)>0 $$
   $$x<\frac12 \text{ или } x>1$$
7. $$4x^2-16x\le 0$$
   $$4x(x-4)\le 0$$
   $$0\le x\le 4$$
8. $$4x^2-49>0$$
   $$(2x-7)(2x+7)>0$$
   $$x<-\frac72 \text{ или } x>\frac72$$
9. $$2x^2-x+1>0$$
   $$D=1-8=-7<0$$
   Так как $$a=2>0$$ и дискриминант отрицателен, то выражение положительно при всех $$x$$.
10. $$3x^2-4x+2\le 0$$
    $$D=16-24=-8<0$$
    Так как $$a=3>0$$, квадратный трёхчлен всегда положителен, значит решений нет.
11. $$(2x+1)^2-(x+1)(x-7)\le 5$$
    $$4x^2+4x+1-(x^2+6x-7)\le 5$$
    $$3x^2-2x+8\le 5$$
    $$3x^2-2x+3\le 0$$
    $$D=4-36=-32<0$$
    Так как $$a=3>0$$, решений нет.
12. $$\frac{x-1}{2}-2x+3<\frac{x^2+3x}{4}$$
    $$2x-2-8x+12<x^2+3x$$
    $$x^2+9x-10>0$$
    $$D=81+40=121$$
    $$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2}$$
    $$x_1=-10,\quad x_2=1$$
    $$ (x+10)(x-1)>0 $$
    $$x<-10 \text{ или } x>1$$

Ответ

1) $$(-1;7)$$; 2) $$(-\infty;-8]\cup[6;+\infty)$$; 3) $$(1;5)$$; 4) $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$; 5) $$\left[1;\frac43\right]$$; 6) $$(-\infty;\frac12)\cup(1;+\infty)$$; 7) $$[0;4]$$; 8) $$(-\infty;-\frac72)\cup(\frac72;+\infty)$$; 9) $$(-\infty;+\infty)$$; 10) решений нет; 11) решений нет; 12) $$(-\infty;-10)\cup(1;+\infty)$$.