Упр.20.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Пусть $$A$$ и $$B$$ — независимые события некоторого испытания. Докажите, что события $$\overline{A}$$ и $$\overline{B}$$ также являются независимыми.

Так как события $$A$$ и $$B$$ независимы, то

$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Докажем независимость событий $$\overline{A}$$ и $$B$$:

$$P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A}\cap B),$$

откуда

$$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).$$

С учётом независимости $$A$$ и $$B$$ получаем

$$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A)\cdot P(B)=(1-P(A))\cdot P(B)=P(\overline{A})\cdot P(B).$$

Значит, события $$\overline{A}$$ и $$B$$ независимы.

Аналогично:

$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}),$$

следовательно,

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B).$$

Тогда

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot(1-P(B))=P(A)\cdot P(\overline{B}).$$

Значит, события $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы.

Теперь найдём вероятность пересечения событий $$\overline{A}$$ и $$\overline{B}$$:

$$P(\overline{A})=P(\overline{A}\cap B)+P(\overline{A}\cap \overline{B}),$$

откуда

$$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})-P(\overline{A}\cap B).$$

Подставим найденное выше:

$$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})-P(\overline{A})\cdot P(B)=P(\overline{A})\cdot(1-P(B))=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}).$$

Следовательно, события $$\overline{A}$$ и $$\overline{B}$$ независимы.

Ответ

$$\overline{A}$$ и $$\overline{B}$$ — независимые события.