Упр.20.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Пусть $$A$$ и $$В$$ — независимые события некоторого испытания. Докажите, что события $$A$$ и $$В$$ также являются независимыми.

Так как события $$A$$ и $$B$$ независимы, то

$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Найдём вероятность события $$\overline{A}\cap B$$:

$$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).$$

Отсюда

$$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).$$

Подставим формулу независимости событий $$A$$ и $$B$$:

$$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A)\cdot P(B).$$

Вынесем $$P(B)$$ за скобки:

$$P(\overline{A}\cap B)=(1-P(A))\cdot P(B).$$

Так как $$P(\overline{A})=1-P(A),$$ получаем

$$P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P(B).$$

Следовательно, события $$\overline{A}$$ и $$B$$ независимы.

Ответ

$$\overline{A}$$ и $$B$$ — независимые события.