Упр.20.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Чему равно математическое ожидание количества выпавших гербов при подбрасывании пяти монет? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Пусть $$X$$ — число выпавших гербов при подбрасывании пяти монет. Тогда $$X$$ принимает значения $$0,1,2,3,4,5$$.

Вероятности этих значений по формуле биномиального распределения:

$$P(X=k)=C_5^k\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{5-k}=C_5^k\left(\frac12\right)^5.$$

Тогда

$$P(0)=\frac{1}{32},\quad P(1)=\frac{5}{32},\quad P(2)=\frac{10}{32},\quad P(3)=\frac{10}{32},\quad P(4)=\frac{5}{32},\quad P(5)=\frac{1}{32}.$$

Найдём математическое ожидание:

$$M(X)=0\cdot \frac{1}{32}+1\cdot \frac{5}{32}+2\cdot \frac{10}{32}+3\cdot \frac{10}{32}+4\cdot \frac{5}{32}+5\cdot \frac{1}{32}$$
$$=\frac{0+5+20+30+20+5}{32}=\frac{80}{32}=2{,}5.$$

Ответ

$$2{,}5$$