Упр.20.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 20.21. Чему равно математическое ожидание количества выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — число выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков.

Для одного кубика вероятность выпадения шестёрки равна $$p=\frac16$$, а не-шестёрки — $$q=\frac56$$.

Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=3$$ и $$p=\frac16$$, поэтому

$$ P(X=k)=C_3^k\left(\frac16\right)^k\left(\frac56\right)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3. $$

Найдём вероятности:

$$ P(0)=C_3^0\left(\frac16\right)^0\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}, $$
$$ P(1)=C_3^1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2=\frac{75}{216}, $$
$$ P(2)=C_3^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1=\frac{15}{216}, $$
$$ P(3)=C_3^3\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^0=\frac{1}{216}. $$

По определению математического ожидания:

$$ M(X)=0\cdot \frac{125}{216}+1\cdot \frac{75}{216}+2\cdot \frac{15}{216}+3\cdot \frac{1}{216}. $$

$$ M(X)=\frac{75+30+3}{216}=\frac{108}{216}=\frac12. $$