Упр.2.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v32/16^(x^2)=8^(3x); 3) 2^(x-1)=12^(2x)·3^(-2x)·2^(x+1);
2) 9·3^(sin(x))=v27; 4) (7^(x+1))^(1/5)=49/v7.

1. $$\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}}=8^{3x}$$
   
   Представим всё в виде степеней числа $$2$$:
   $$\sqrt{32}=2^{5/2}, \quad 16^{x^2}=2^{4x^2}, \quad 8^{3x}=2^{9x}.$$
   Тогда
   $$ 2^{5/2-4x^2}=2^{9x}. $$
   Приравниваем показатели:
   $$ \frac{5}{2}-4x^2=9x. $$
   Умножим на $$2$$:
   $$ 5-8x^2=18x, $$
   $$ 8x^2+18x-5=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=18^2-4\cdot 8\cdot(-5)=324+160=484, $$
   $$ x=\frac{-18\pm 22}{16}. $$
   Отсюда
   $$ x_1=-\frac{5}{2}, \quad x_2=\frac{1}{4}. $$
2. $$9\cdot 3^{\sin x}=\sqrt{27}$$
   
   Запишем всё через основание $$3$$:
   $$ 9=3^2,\quad \sqrt{27}=3^{3/2}. $$
   Тогда
   $$ 3^2\cdot 3^{\sin x}=3^{3/2}, $$
   $$ 3^{2+\sin x}=3^{3/2}. $$
   Приравниваем показатели:
   $$ 2+\sin x=\frac{3}{2}, $$
   $$ \sin x=-\frac{1}{2}. $$
   Следовательно,
   $$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$
3. $$2^{x-1}=12^{2x}\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}$$
   
   Преобразуем правую часть:
   $$ 12^{2x}=(4\cdot 3)^{2x}=4^{2x}\cdot 3^{2x}=2^{4x}\cdot 3^{2x}. $$
   Тогда
   $$ 12^{2x}\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}=2^{4x}\cdot 2^{x+1}=2^{5x+1}. $$
   Получаем:
   $$ 2^{x-1}=2^{5x+1}. $$
   Приравниваем показатели:
   $$ x-1=5x+1, $$
   $$ -4x=2, $$
   $$ x=-\frac{1}{2}. $$
4. $$\left(7^{x+1}\right)^{1/5}=\frac{49}{\sqrt{7}}$$
   
   Левая часть:
   $$ \left(7^{x+1}\right)^{1/5}=7^{\frac{x+1}{5}}. $$
   Правая часть:
   $$ \frac{49}{\sqrt{7}}=\frac{7^2}{7^{1/2}}=7^{3/2}. $$
   Тогда
   $$ 7^{\frac{x+1}{5}}=7^{3/2}. $$
   Приравниваем показатели:
   $$ \frac{x+1}{5}=\frac{3}{2}, $$
   $$ 2x+2=15, $$
   $$ 2x=13, $$
   $$ x=\frac{13}{2}. $$

Ответ

1) $$-\frac{5}{2},\ \frac{1}{4}$$; 2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$-\frac{1}{2}$$; 4) $$\frac{13}{2}$$.