Упр.2.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v32/16^(x^2)=8^(3x); 3) 2^(x-1)=12^(2x)·3^(-2x)·2^(x+1);
2) 9·3^(sin(x))=v27; 4) (7^(x+1))^(1/5)=49/v7.

1. $$\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}}=8^{3x}$$

   Представим все числа в виде степеней двойки:

   $$\frac{2^{5/2}}{2^{4x^2}}=2^{9x}$$

   $$2^{5/2-4x^2}=2^{9x}$$

   Тогда показатели равны:

   $$\frac52-4x^2=9x$$

   $$8x^2+18x-5=0$$

   $$D=18^2-4\cdot 8\cdot(-5)=324+160=484$$

   $$x=\frac{-18\pm 22}{16}$$

   $$x_1=-\frac52,\quad x_2=\frac14$$

2. $$9\cdot 3^{\sin x}=\sqrt{27}$$

   $$3^2\cdot 3^{\sin x}=3^{3/2}$$

   $$3^{2+\sin x}=3^{3/2}$$

   $$2+\sin x=\frac32$$

   $$\sin x=-\frac12$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

3. $$2^{x-1}=12^{2x}\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}$$

   $$2^{x-1}=(4^x\cdot 3^{2x})\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}$$

   $$2^{x-1}=2^{2x}\cdot 2^{x+1}$$

   $$x-1=3x+1$$

   $$-2x=2$$

   $$x=-1$$

4. $$\left(7^{x+1}\right)^{1/5}=\frac{49}{\sqrt7}$$

   $$7^{\frac{x+1}{5}}=7^{2-\frac12}=7^{3/2}$$

   $$\frac{x+1}{5}=\frac32$$

   $$x+1=\frac{15}{2}$$

   $$x=\frac{13}{2}$$

Ответ

1) $$-\frac52,\ \frac14$$; 2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$-1$$; 4) $$\frac{13}{2}$$.