Упр.2.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• 1) $$2^{2x}-6\cdot2^x+8=0$$;
• 3) $$25^x-5^x-20=0$$;
• 2) $$9^x-6\cdot3^x-27=0$$;
• 4) $$100\cdot0{,}3^{2x}+91\cdot0{,}3^x-9=0$$.

1. $$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0.$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2-6t+8=0.$$

   $$D=36-32=4,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

   Отсюда $$t_1=2,$$ $$t_2=4.$$

   Тогда:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

2. $$9^x-6\cdot 3^x-27=0.$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-6t-27=0.$$

   $$D=36+108=144,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}.$$

   Отсюда $$t_1=-3,$$ $$t_2=9.$$

   Так как $$3^x>0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Тогда:

   $$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2.$$

3. $$25^x-5^x-20=0.$$

   Положим $$t=5^x$$, тогда $$25^x=5^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-t-20=0.$$

   $$D=1+80=81,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}.$$

   Отсюда $$t_1=-4,$$ $$t_2=5.$$

   Так как $$5^x>0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда:

   $$5^x=5=5^1 \Rightarrow x=1.$$

4. $$100\cdot 0{,}3^{2x}+91\cdot 0{,}3^x-9=0.$$

   Положим $$t=0{,}3^x$$, тогда $$0{,}3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$100t^2+91t-9=0.$$

   $$D=91^2+4\cdot 100\cdot 9=8281+3600=11881,$$

   $$\sqrt{D}=109.$$

   Тогда

   $$t_{1,2}=\frac{-91\pm 109}{200}.$$

   Получаем $$t_1=-1,$$ $$t_2=0{,}09.$$

   Так как $$0{,}3^x>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда:

   $$0{,}3^x=0{,}09=0{,}3^2 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

1) $$1,\,2$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$; 4) $$2$$.