Упр.2.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\left(2+\sqrt{3}\right)^x-\left(2-\sqrt{3}\right)^x=2(a-1)x^2+\frac{1}{2}a^2$$ имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=2(a-1)x^2+\frac12a^2.$$

Введём функцию

$$y=(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x-2(a-1)x^2-\frac12a^2.$$

Она чётная, так как

$$y(-x)=(2+\sqrt3)^{-x}+(2-\sqrt3)^{-x}-2(a-1)(-x)^2-\frac12a^2=y(x).$$

Если уравнение имеет единственное решение, то это решение должно быть при $$x=0$$, иначе вместе с корнем $$x_0\neq 0$$ был бы и корень $$-x_0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$(2+\sqrt3)^0+(2-\sqrt3)^0=2(a-1)\cdot 0^2+\frac12a^2,$$

$$1+1=\frac12a^2,$$

$$a^2=4, \quad a=\pm 2.$$

Проверим оба значения.

1) При $$a=2$$ получаем

$$(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=2.$$

При $$x=0$$ левая часть равна $$2$$, значит, $$x=0$$ — решение. Но при $$x=1$$:

$$(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4,$$

то есть есть и другое решение, поэтому единственности нет.

2) При $$a=-2$$ получаем

$$(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x= -6x^2+2.$$

Левая часть всегда не меньше $$2$$, а правая часть не больше $$2$$. Равенство возможно только при

$$x=0.$$

Значит, решение единственное.

Ответ

$$a=-2.$$