Упр.2.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\left(3-2\sqrt{2}\right)^x+\left(3+2\sqrt{2}\right)^x=\left(3a+1\right)|x|+2a^2$$ имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=(3a+1)|x|+2a^2.$$

Обозначим

$$y(x)=(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2.$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=(3-2\sqrt2)^{-x}+(3+2\sqrt2)^{-x}-(3a+1)|-x|-2a^2$$

$$=(3+2\sqrt2)^x+(3-2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2=y(x).$$

Если уравнение имеет единственное решение, то из чётности следует, что это решение должно быть $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$(3-2\sqrt2)^0+(3+2\sqrt2)^0=(3a+1)|0|+2a^2$$

$$1+1=2a^2$$

$$a^2=1,\quad a=\pm1.$$

Проверим оба значения.

1) $$a=1$$. Тогда

$$(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=4|x|+2.$$

При $$x=0$$ получаем решение, но также при $$x=1$$:

$$(3-2\sqrt2)^1+(3+2\sqrt2)^1=6,$$

$$4|1|+2=6.$$

Значит, решение не единственное.

2) $$a=-1$$. Тогда

$$(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=2-2x.$$

Левая часть не меньше 2, так как для любого $$x$$

$$(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x\ge 2.$$

Следовательно, должно быть

$$2-2x\ge 2,$$

то есть $$x\le 0$$. Но при $$x=0$$ равенство выполняется, а при $$x<0$$ правая часть больше 2, тогда как левая часть строго больше 2, и дополнительных решений не возникает. Значит, единственное решение — $$x=0$$.

Ответ

$$a=-1$$.