Упр.2.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.37. При каких значениях параметра a уравнение (3-2v2)^x+(3+2v2)^x=(3a+1)|x|+2a^2 имеет единственное решение?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ (3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=(3a+1)|x|+2a^2. $$

Обозначим

$$ y(x)=(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2. $$

Функция чётная, так как

$$ y(-x)=(3-2\sqrt2)^{-x}+(3+2\sqrt2)^{-x}-(3a+1)|-x|-2a^2 $$

$$ =(3+2\sqrt2)^x+(3-2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2=y(x). $$

Если уравнение имеет единственное решение, то из чётности следует, что это решение должно быть $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$ (3-2\sqrt2)^0+(3+2\sqrt2)^0=(3a+1)|0|+2a^2 $$

$$ 1+1=2a^2 $$

$$ a^2=1,\quad a=\pm1. $$

Проверим оба значения.

1) $$a=1$$. Тогда

$$ (3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=4|x|+2. $$

При $$x=0$$ получаем решение, но также при $$x=1$$:

$$ (3-2\sqrt2)^1+(3+2\sqrt2)^1=6, $$

$$ 4|1|+2=6. $$

Значит, решение не единственное.

2) $$a=-1$$. Тогда

$$ (3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=2-2x. $$

Левая часть не меньше 2, так как для любого $$x$$

$$ (3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x\ge 2. $$

Следовательно, должно быть

$$ 2-2x\ge 2, $$

то есть $$x\le 0$$. Но при $$x=0$$ равенство выполняется, а при $$x<0$$ правая часть больше 2, тогда как левая часть строго больше 2, и дополнительных решений не возникает. Значит, единственное решение — $$x=0$$.